Как найти площадь круга, зная длину окружности

Чтобы понять, как найти площадь круга, зная длину окружности, сначала находят радиус — его получают делением длины окружности на удвоенное число пи. Затем радиус подставляют в формулу площади круга и возводят его в квадрат. Есть и прямой способ без вычисления радиуса: площадь равна квадрату длины окружности, делённому на учетверённое число пи. Оба способа дают одинаковый результат при одинаковом округлении числа пи.

$S = \frac{C^2}{4\pi}$

Разбор по случаям

Примеры

с точным числом пи. Длина окружности равна $C = 12\pi\text{ см}$.

Радиус находят делением на $2\pi$: $r = \dfrac{12\pi}{2\pi} = 6\text{ см}$.

Площадь круга равна $S = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\text{ см}^2$.

Тот же результат получается по прямой формуле: $S = \dfrac{C^2}{4\pi} = \dfrac{144\pi^2}{4\pi} = 36\pi\text{ см}^2$.

Ответ удобно оставить с числом пи в точном виде, а при необходимости перевести в приближённое значение, умножив на 3,14. Оба способа вычисления показывают, что результат не зависит от выбранного метода, если аккуратно выполнены все промежуточные действия.

с приближённым пи. Длина окружности равна $C = 31{,}4\text{ см}$, при вычислениях используют $\pi \approx 3{,}14$.

Радиус: $r = \dfrac{C}{2\pi} = \dfrac{31{,}4}{6{,}28} = 5\text{ см}$.

Площадь круга: $S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5\text{ см}^2$.

Такое приближённое значение обычно используют в задачах, где длина окружности дана десятичной дробью, а не через точное число пи. Если бы длина окружности была дана в виде выражения с точным числом пи, ответ тоже получился бы точным, без округления в середине решения.

Частые ошибки

• Забывают, что в прямой формуле стоит квадрат длины окружности, а не сама длина окружности.
• Путают формулу площади с формулой длины окружности и делят длину на 2π, забыв возвести в квадрат.
• Используют разное округление числа пи в разных формулах одной задачи и получают несовпадающий ответ.

Коротко

Вопрос, как найти площадь круга, зная длину окружности, решается либо через радиус, либо напрямую по формуле с квадратом длины окружности. Из двух формул получается одинаковый ответ, если использовать одно и то же значение числа пи.