Как найти длину проекции

Чтобы понять, как найти длину проекции, используют координаты или угол. Если известны координаты начала $A(x_1,y_1)$ и конца $B(x_2,y_2)$ вектора, проекция на ось $Ox$ равна разности $a_x=x_2-x_1$, а на ось $Oy$ равна $a_y=y_2-y_1$. Если известны модуль вектора $|\vec a|$ и угол $\alpha$ между вектором и осью, проекцию считают по формуле $a_x=|\vec a|\cos\alpha$. При тупом угле проекция получается отрицательным числом, а при остром — всегда положительным.

$a_x = |\vec a|\cos\alpha$

Разбор по случаям

Примеры

Через координаты точек. Вектор задан точками $A(2,1)$ и $B(6,4)$. Проекция на ось $Ox$: $a_x=6-2=4$. Проекция на ось $Oy$: $a_y=4-1=3$. Модуль вектора $|\vec a|=\sqrt{4^2+3^2}=5$, он длиннее каждой из двух проекций по отдельности, потому что учитывает оба направления сразу.

Через модуль и тупой угол. Модуль вектора $|\vec a|=8$, угол между вектором и осью $\alpha=120^\circ$. Косинус тупого угла отрицателен: $\cos120^\circ=-0{,}5$. Проекция $a_x=8\cdot(-0{,}5)=-4$, знак минус показывает, что проекция направлена против выбранной оси.

Частые ошибки

• Вычитают координаты в обратном порядке — начало минус конец, — получая проекцию с противоположным знаком.
• Забывают, что при тупом угле между вектором и осью проекция отрицательна, и берут результат по модулю.
• Проекция вектора на ось — не то же самое, что модуль вектора, но эти величины часто путают между собой.

Коротко

Итог: как найти длину проекции — через разность координат конца и начала вектора либо через произведение модуля вектора на косинус угла с осью. Проекция отрицательна, если угол между вектором и осью тупой.