Как найти длину вектора а плюс б

Чтобы понять, как найти длину вектора а плюс б, сначала находят сам вектор суммы, складывая координаты слагаемых по отдельности: (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Затем длину полученного вектора вычисляют по теореме Пифагора: |a + b| = √((a₁+b₁)² + (a₂+b₂)²). Если координаты неизвестны, но даны длины векторов и угол между ними, применяют формулу |a + b| = √(|a|² + |b|² + 2|a||b|cos θ), которая при угле 90° превращается в обычную теорему Пифагора для двух перпендикулярных отрезков.

$|a + b| = \sqrt{(a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Векторы заданы координатами. Даны векторы $a(3; 0)$ и $b(0; 4)$. Складываем координаты: сумма равна $(3+0; 0+4) = (3; 4)$.

Длина суммы: $|a+b| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ получен без обращения к углу между исходными векторами.

Известны длины и прямой угол. Длины векторов равны $|a| = 5$ и $|b| = 12$, а угол между ними составляет $90^\circ$.

Так как $\cos 90^\circ = 0$, формула упрощается: $|a+b| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Такой результат совпадает с классической тройкой сторон прямоугольного треугольника.

Частые ошибки

• Складывают сразу длины векторов вместо их координат и получают неверную длину суммарного вектора.
• Забывают слагаемое $2|a||b|\cos\theta$ в формуле через угол, из-за чего результат считают так, будто угол всегда 90°.
• Путают знак косинуса при тупом угле между векторами и получают завышенную длину суммы вместо заниженной.

Коротко

Длину суммы двух векторов находят либо через сложение координат и теорему Пифагора, либо через длины слагаемых и угол между ними. Оба пути дают одинаковый результат, поэтому вопрос, как найти длину вектора а плюс б, решают тем способом, для которого хватает исходных данных.