Как найти длину высоты треугольника

Чтобы понять, как найти длину высоты треугольника, чаще всего используют площадь: $h=\frac{2S}{a}$, где $a$ — сторона, к которой эта высота проведена. В прямоугольном треугольнике высоту к гипотенузе находят через катеты: $h=\frac{ab}{c}$. Если известны все три стороны без угла, сначала считают площадь по формуле Герона, а затем ту же высоту выражают через неё. В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его ровно пополам, а в равностороннем она равна стороне, умноженной на корень из трёх и делённой на два.

$h = \frac{2S}{a}$

Разбор по случаям

Примеры

Стороны без угла, через Герона. Стороны треугольника $13$, $14$ и $15$ см, угол между ними не дан. Полупериметр $p=\frac{13+14+15}{2}=21$ см.

Площадь $S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84$ см².

Высота к стороне $14$ см: $h=\frac{2\cdot84}{14}=12$ см — та же площадь пересчитана в высоту.

Прямоугольный треугольник. Катеты прямоугольного треугольника $a=6$ см и $b=8$ см, гипотенуза по теореме Пифагора $c=\sqrt{36+64}=10$ см.

Высота к гипотенузе $h=\frac{ab}{c}=\frac{6\cdot8}{10}=\frac{48}{10}=4{,}8$ см, она заметно короче обоих катетов треугольника.

Частые ошибки

• Путают высоту с медианой или биссектрисой, хотя совпадают они только в равнобедренном треугольнике.
• Делят удвоенную площадь не на ту сторону треугольника, к которой на самом деле проведена высота.
• Забывают, что высота треугольника в тупоугольном случае может лежать вне самой фигуры, на продолжении стороны.

Коротко

Итог: как найти длину высоты треугольника — выразить её из формулы площади, поделив удвоенную площадь на сторону-основание. В прямоугольном треугольнике высоту к гипотенузе считают через произведение катетов, делённое на гипотенузу.