Как найти углы треугольника по трём сторонам

Как найти углы треугольника по трём сторонам: применяют теорему косинусов, которая связывает квадрат одной стороны с квадратами двух других сторон и косинусом угла между ними. Чтобы найти угол, косинус выражают из формулы и подставляют длины трёх сторон, а сам угол получают через арккосинус найденного значения. Если треугольник прямоугольный, острые углы проще найти через синус отношения катета к гипотенузе, не используя теорему косинусов вовсе.

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Разбор по случаям

Примеры

Стороны 5, 6 и 7 см. Даны стороны треугольника $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$ (в сантиметрах).

Угол A напротив стороны a находят по теореме косинусов: $\cos A = \dfrac{6^2+7^2-5^2}{2\cdot 6\cdot 7} = \dfrac{60}{84} \approx 0{,}714$, откуда $A \approx 44{,}4^\circ$.

Аналогично находят остальные углы: $B \approx 57{,}1^\circ$, $C \approx 78{,}5^\circ$. Сумма всех трёх найденных углов равна $180^\circ$, а самый большой угол лежит против самой длинной стороны, то есть против стороны c.

Прямоугольный треугольник 3, 4, 5 см. Стороны прямоугольного треугольника $3$, $4$ и $5$ см, прямой угол лежит против стороны 5.

Острый угол напротив катета 3 находят через синус: $\sin A = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$, откуда $A \approx 36{,}9^\circ$.

Второй острый угол дополняет прямой до развёрнутого: $B = 90^\circ - 36{,}9^\circ \approx 53{,}1^\circ$.

Проверка: сумма всех трёх углов $90^\circ + 36{,}9^\circ + 53{,}1^\circ = 180^\circ$, значит вычисления сделаны верно и ошибок в углах нет.

Частые ошибки

• Подставляют стороны в теорему косинусов не по своим местам и находят угол, противоположный не той стороне.
• Забывают взять арккосинус после вычисления самого косинуса и оставляют в ответе число вместо градусов.
• Не проверяют сумму трёх найденных углов и пропускают ошибку, если она отличается от 180 градусов.

Коротко

Углы треугольника по известным сторонам находят через теорему косинусов, а для прямоугольного треугольника — проще, через синус острого угла. Так отвечают на вопрос, как найти углы треугольника по трём сторонам, для любого вида треугольника.