Как найти сторону треугольника по углам

Как найти сторону треугольника по углам: одних углов недостаточно — нужна ещё хотя бы одна известная сторона, поскольку углы определяют только форму треугольника, а не его конкретный размер в сантиметрах или метрах.

Зная угол и противолежащую ему сторону, применяют теорему синусов $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ и находят вторую сторону через отношение синусов.

В прямоугольном треугольнике катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла, второй катет находят по теореме Пифагора.

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Разбор по случаям

Примеры

Теорема синусов. В треугольнике угол $A=30°$, угол $B=90°$, а сторона $a=8\text{ см}$ лежит против угла $A$ и уже известна из условия задачи целиком.

По теореме синусов $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, откуда выражают неизвестную сторону: $b=\frac{a\cdot\sin B}{\sin A}=\frac{8\cdot1}{0{,}5}=16\text{ см}$.

Сторона $b$ лежит против прямого угла и потому является гипотенузой всего треугольника, самой длинной его стороной среди всех трёх сторон.

Прямоугольный треугольник по гипотенузе. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c=10\text{ см}$, а острый угол $A=30°$ дан в условии задачи полностью.

Катет, лежащий против этого угла, равен $a=c\cdot\sin A=10\cdot0{,}5=5\text{ см}$.

Второй катет находят по теореме Пифагора через уже известные стороны треугольника: $b=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}\approx8{,}66\text{ см}$, где $100=c^2$ и $25=a^2$ — это квадраты гипотенузы и уже найденного первого катета треугольника.

Частые ошибки

• Пытаются найти длину стороны только по углам без единственной известной длины, хотя углы задают лишь форму, а не размер.
• Путают, против какого угла лежит нужная сторона, и подставляют в теорему синусов не тот угол из условия.
• Забывают перевести угол в правильные единицы или берут неверное значение синуса при вычислении на калькуляторе.

Коротко

Как найти сторону треугольника по углам, показывает теорема синусов, если известна хотя бы одна сторона — иначе задача не имеет единственного решения. Для прямоугольного треугольника достаточно гипотенузы и одного острого угла, чтобы получить оба катета.