Как найти количество сторон многоугольника, зная угол

Как найти количество сторон многоугольника, зная угол: применяют формулу правильного многоугольника — число сторон n равно 360, делённому на разность 180 и величины внутреннего угла. Если дан внешний угол, число сторон находят проще: делят 360 градусов на этот внешний угол. Ответ обязательно должен получиться целым положительным числом, иначе правильного многоугольника с таким углом попросту не существует.

$n = \dfrac{360}{180 - \alpha}$

Разбор по случаям

Примеры

По внутреннему углу. Внутренний угол правильного многоугольника равен $\alpha = 150^\circ$.

Подставляем в формулу: $n = \dfrac{360}{180 - 150} = \dfrac{360}{30} = 12$.

Значит, многоугольник имеет двенадцать сторон и называется правильным двенадцатиугольником с равными сторонами и углами.

Проверка: сумма его углов равна $(12-2)\cdot180^\circ=1800^\circ$, а один угол — $1800^\circ \div 12 = 150^\circ$, что совпадает с условием задачи.

По внешнему углу. Внешний угол правильного многоугольника равен $\beta = 40^\circ$. Так как внешний и внутренний углы в сумме дают $180^\circ$, проще использовать формулу для внешнего угла: $n = \dfrac{360}{40} = 9$.

Многоугольник имеет девять сторон и является правильным девятиугольником, а его внутренний угол равен $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Проверка первой формулой: $n = \dfrac{360}{180-140} = \dfrac{360}{40} = 9$.

Частые ошибки

• Подставляют в формулу внешний угол вместо внутреннего, забыв поменять знаменатель дроби на подходящий по смыслу.
• Считают многоугольник правильным и пытаются применить формулу, хотя на самом деле его углы разные между собой.
• Ошибаются при переводе угла из радиан в градусы и получают в итоге нецелое, а значит невозможное число сторон.

Коротко

Как найти количество сторон многоугольника, зная угол, — значит выразить число сторон n из формулы суммы углов правильного многоугольника через внутренний или внешний угол. Проверка простая: подставив найденное n обратно в формулу, должен получиться тот же самый угол.