Как найти угол зная стороны

Как найти угол зная стороны: для треугольника со сторонами a, b и c применяют теорему косинусов — косинус угла равен сумме квадратов двух прилежащих сторон минус квадрат противолежащей стороны, делённой на удвоенное произведение прилежащих сторон. Сам угол получают через арккосинус этого числа. Угол по сторонам треугольника можно найти и без калькулятора: если результат в формуле отрицательный, угол тупой, если положительный — острый.

$A = \arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$

Разбор по случаям

Примеры

Известны все три стороны треугольника. Пусть стороны треугольника равны $a = 7$, $b = 5$ и $c = 8$ см, а нужно найти угол A, противолежащий стороне a.

По теореме косинусов: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{25+64-49}{80} = \frac{40}{80} = 0{,}5$.

Значит $A = \arccos(0{,}5) = 60°$ — угол оказался табличным значением, что удобно для проверки. Такой результат нередко встречается в школьных задачах, потому что числа 5, 7 и 8 специально подобраны так, чтобы косинус получился круглым.

Прямоугольный треугольник по двум катетам. Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a = 3$ см и $b = 4$ см, а угол A лежит напротив катета a.

Тангенс угла: $\tan A = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

Через арктангенс получаем $A = \arctan(0{,}75) \approx 37°$.

Это классический угол треугольника со сторонами 3, 4 и 5, где гипотенуза равна 5 см по теореме Пифагора. Такой способ применяют, когда в задаче даны именно катеты, а не гипотенуза или другой угол треугольника.

Частые ошибки

• Путают, какая сторона лежит против искомого угла, и подставляют не то значение в числитель или знаменатель формулы.
• Забывают взять арккосинус или арктангенс после вычисления дроби и оставляют в ответе только число без угла.
• Складывают квадраты сторон без учёта знака минус перед квадратом противолежащей стороны в теореме косинусов.

Коротко

Как найти угол зная стороны, показывает теорема косинусов: подставить длины трёх сторон в формулу и извлечь арккосинус результата. Угол по сторонам треугольника определяется однозначно, а его тип — острый или тупой — виден уже по знаку выражения под арккосинусом.