Как найти косинус между двумя векторами

Как найти косинус между двумя векторами: сначала находят их скалярное произведение — сумму произведений одноимённых координат. Затем находят длину каждого вектора как корень из суммы квадратов его координат. Косинус угла равен скалярному произведению, делённому на произведение длин обоих векторов. Если результат отрицательный, угол между векторами тупой, а при нулевом скалярном произведении векторы перпендикулярны друг другу. Для векторов в пространстве к сумме координат добавляют слагаемое по оси z, а длина вектора получает третье слагаемое под корнем.

$\cos\varphi = \frac{a\cdot b}{|a||b|}$

Разбор по случаям

Примеры

Векторы a(3, 4) и b(4, 3). Даны векторы $a = (3, 4)$ и $b = (4, 3)$.

Скалярное произведение находят через координаты: $a\cdot b = 3\cdot 4 + 4\cdot 3 = 12+12 = 24$.

Длины векторов равны: $|a| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$ и $|b| = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$.

Косинус угла между ними: $\cos\varphi = \dfrac{24}{5\cdot 5} = \dfrac{24}{25} = 0{,}96$.

Значение близко к единице, значит угол между этими двумя векторами небольшой и острый. Такой косинус соответствует углу примерно 16 градусов, если найти его через арккосинус.

Векторы a(1, 0) и b(1, 1). Даны векторы $a = (1, 0)$ и $b = (1, 1)$.

Скалярное произведение: $a\cdot b = 1\cdot 1 + 0\cdot 1 = 1$.

Длина первого вектора: $|a| = \sqrt{1^2+0^2} = 1$, длина второго: $|b| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Косинус угла между векторами: $\cos\varphi = \dfrac{1}{1\cdot\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2} \approx 0{,}707$, а сам угол равен $45^\circ$.

Первый вектор направлен строго вдоль оси x, поэтому угол между ним и вектором b совпадает с углом наклона вектора b к этой оси, что легко проверить построением на координатной плоскости.

Частые ошибки

• Делят скалярное произведение только на одну из длин векторов, а не на произведение обеих длин.
• Забывают, что при отрицательном скалярном произведении косинус тоже отрицательный, а угол между векторами тупой.
• Путают длину вектора с суммой его координат и складывают их без возведения в квадрат и извлечения корня.

Коротко

Косинус угла между векторами находят как отношение их скалярного произведения к произведению длин этих векторов. Так отвечают на вопрос, как найти косинус между двумя векторами, заданными на плоскости или в пространстве.