Как найти острый угол между диагоналями прямоугольника

Как найти острый угол между диагоналями прямоугольника — через стороны $a$ и $b$ по формуле $\cos\theta = \frac{|a^2 - b^2|}{a^2 + b^2}$, где $\theta$ — искомый угол.

Если известна диагональ и только одна сторона, вторую находят по теореме Пифагора, а затем подставляют обе стороны в ту же формулу. Для квадрата, где $a = b$, угол между диагоналями всегда равен $90^\circ$. Если сначала известен угол между диагональю и большей стороной, искомый угол равен удвоенному этому углу.

Разбор по случаям

Примеры

по двум сторонам. В прямоугольнике стороны равны $a = 3\text{ см}$ и $b = 4\text{ см}$.

По формуле $\cos\theta = \frac{|a^2 - b^2|}{a^2 + b^2} = \frac{|9 - 16|}{9 + 16} = \frac{7}{25} = 0{,}28$.

Значит, острый угол между диагоналями $\theta = \arccos 0{,}28 \approx 73{,}7^\circ$.

Такой угол не зависит от того, какую сторону считать длиной, а какую шириной.

Такой же результат даёт формула через угол между диагональю и стороной: $\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{3}{4}$, откуда $\alpha \approx 36{,}9^\circ$, а искомый угол $\theta = 2\alpha \approx 73{,}7^\circ$.

по диагонали и стороне. Диагональ прямоугольника равна $d = 13\text{ см}$, одна из сторон $a = 5\text{ см}$.

Сначала находят вторую сторону по теореме Пифагора: $b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$.

Теперь считают угол между диагоналями: $\cos\theta = \frac{|25 - 144|}{25 + 144} = \frac{119}{169} \approx 0{,}704$, откуда $\theta \approx 45{,}2^\circ$.

Такой способ применяют, когда в задаче дана длина диагонали и только одна сторона фигуры, а не обе сразу. Итоговый угол получается острым, так как стороны прямоугольника не равны между собой.

Частые ошибки

• Путают острый угол между диагоналями с соседним тупым и не проверяют знак косинуса.
• Забывают взять модуль разности квадратов сторон и получают отрицательный косинус вместо острого угла.
• Складывают квадраты сторон вместо теоремы Пифагора при поиске второй стороны по диагонали.

Коротко

Острый угол между диагоналями прямоугольника получают из формулы $\cos\theta = \frac{|a^2 - b^2|}{a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ — стороны фигуры, а для квадрата этот угол всегда равен $90^\circ$. Если в условии известна только диагональ и одна сторона, вопрос, как найти острый угол между диагоналями прямоугольника, решают через теорему Пифагора для второй стороны.