Как найти угол между диагоналями параллелограмма

Чтобы понять, как найти угол между диагоналями параллелограмма, диагонали и сторону рассматривают как треугольник со сторонами $d_1/2$, $d_2/2$ и $a$, и применяют теорему косинусов: $\cos\theta = \frac{(d_1/2)^2+(d_2/2)^2-a^2}{2\cdot(d_1/2)(d_2/2)}$.

Если вместо стороны известна площадь $S$, угол находят через $\sin\theta = \frac{2S}{d_1 d_2}$.

Диагонали всегда делят друг друга пополам в точке пересечения, поэтому в треугольник для теоремы косинусов входят именно половины их длин.

Разбор по случаям

Примеры

Даны диагонали и сторона. Диагонали параллелограмма $d_1=6$ см и $d_2=10$ см, сторона $a=7$ см. Половины диагоналей: $3$ см и $5$ см.

По теореме косинусов $\cos\theta = \frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot3\cdot5} = \frac{9+25-49}{30} = \frac{-15}{30} = -0{,}5$, значит $\theta = 120^\circ$, а смежный с ним угол между диагоналями равен $180^\circ-120^\circ=60^\circ$.

Даны диагонали и площадь. Диагонали $d_1=8$ см и $d_2=10$ см, площадь параллелограмма $S=20$ см².

По формуле площади $\sin\theta = \frac{2\cdot20}{8\cdot10} = \frac{40}{80} = 0{,}5$, значит острый угол между диагоналями $\theta = 30^\circ$, а второй, тупой угол равен $150^\circ$.

Частые ошибки

• Ищут угол между диагоналями как между обычными сторонами, забывая, что образуется отдельный треугольник из их половин.
• Подставляют в теорему косинусов полные длины диагоналей вместо их половин, из-за чего результат получается неверным.
• Считают, что диагонали параллелограмма всегда перпендикулярны, хотя это верно только для частного случая — ромба.

Коротко

Итак, как найти угол между диагоналями параллелограмма: построить треугольник из половин диагоналей и стороны, затем применить теорему косинусов, либо использовать площадь и обе диагонали через синус угла. В ромбе такой угол всегда равен 90°, это частный случай общей формулы.