Как найти угол между диагоналями прямоугольника

Чтобы понять, как найти угол между диагоналями прямоугольника, стороны $a$ и $b$ подставляют в формулу $\theta = 2\arctan\frac{a}{b}$, где $a$ — меньшая сторона, а $b$ — большая.

Так находят острый угол между диагоналями, а тупой угол получают вычитанием: $180^\circ-\theta$. Для квадрата, где обе стороны равны, формула сразу даёт $\theta=90^\circ$, то есть диагонали пересекаются под прямым углом. Чем сильнее отличаются длины сторон друг от друга, тем ближе острый угол между диагоналями к нулю, а тупой угол — к 180 градусам.

Разбор по случаям

Примеры

Стороны 3 и 4 см. Стороны прямоугольника $a=3$ см и $b=4$ см.

Острый угол между диагоналями $\theta=2\arctan\frac{3}{4}=2\cdot36{,}87^\circ\approx73{,}7^\circ$, а тупой угол равен $180^\circ-73{,}7^\circ=106{,}3^\circ$, вместе они дают ровно развёрнутый угол в 180 градусов, что служит быстрой проверкой ответа.

Квадрат со стороной 5 см. Сторона квадрата $a=5$ см, значит и вторая сторона $b=5$ см.

Угол между диагоналями $\theta=2\arctan\frac{5}{5}=2\arctan1=2\cdot45^\circ=90^\circ$, диагонали квадрата всегда пересекаются строго под прямым углом, независимо от размера самого квадрата.

Частые ошибки

• Считают, что диагонали любого прямоугольника пересекаются под прямым углом, как это бывает только в квадрате.
• Путают острый и тупой угол между диагоналями и не проверяют, что их сумма равна 180 градусам.
• Подставляют в арктангенс отношение большей стороны к меньшей вместо меньшей к большей и получают тупой угол вместо острого.

Коротко

Итог: как найти угол между диагоналями прямоугольника — подставить меньшую и большую стороны в формулу θ = 2·arctg(a/b) и получить острый угол, а тупой найти вычитанием из 180 градусов. У квадрата этот угол всегда равен 90 градусам.