Как найти площадь фигуры через диагонали

Отвечая, как найти площадь фигуры через диагонали, для ромба и квадрата, где диагонали пересекаются под прямым углом, используют формулу $S = \frac{d_1 d_2}{2}$.

Для произвольного четырёхугольника, у которого угол между диагоналями не прямой, применяют общую формулу $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\theta$, где $\theta$ — угол между диагоналями.

Без прямого угла или его синуса площадь через одни диагонали посчитать нельзя, нужен ещё этот угол. Для квадрата обе диагонали равны между собой, поэтому в формулу подставляют одно и то же число дважды.

Разбор по случаям

Примеры

Ромб с диагоналями 10 и 12 см. Диагонали ромба равны $d_1 = 10\text{ см}$ и $d_2 = 12\text{ см}$. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, площадь находят по формуле $S = \frac{d_1 d_2}{2}$.

Подставляем числа: $S = \frac{10 \times 12}{2} = \frac{120}{2} = 60\text{ см}^2$.

Синус прямого угла равен единице, поэтому его в расчёте отдельно не записывают. Такая же формула подходит и для дельтоида с перпендикулярными диагоналями.

Четырёхугольник с диагоналями 6 и 8 см под углом 30°. Диагонали четырёхугольника равны $d_1 = 6\text{ см}$ и $d_2 = 8\text{ см}$, угол между ними $\theta = 30^\circ$, а $\sin 30^\circ = 0.5$.

Площадь находят по общей формуле: $S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times 0.5 = 12\text{ см}^2$.

Без учёта синуса угла результат получился бы вчетверо больше настоящего, ведь произведение диагоналей без деления пополам равно 48.

Частые ошибки

• Забывают делить произведение диагоналей на два и получают удвоенную площадь фигуры.
• Применяют формулу для ромба к произвольному четырёхугольнику, где диагонали не перпендикулярны друг другу.
• Подставляют в формулу сам угол в градусах вместо его синуса и получают неверный результат.

Коротко

Площадь через диагонали считают по половине их произведения, а для непрямого угла добавляют синус угла между ними. Разобравшись, как найти площадь фигуры через диагонали, легко решить задачу и для ромба, и для произвольного четырёхугольника.