Как найти площадь фигуры произвольной формы

Как найти площадь фигуры произвольной формы: разбить её на простые фигуры — прямоугольники, треугольники — и сложить их площади. Если фигура наложена на клетчатую сетку, площадь считают по клеткам или по формуле Пика через точки на границе и внутри фигуры. Способ выбирают по тому, что дано в условии.

$S = S_1 + S_2 + \dots + S_n$

Разбор по случаям

Примеры

Разбиение на прямоугольник и треугольник. Фигура состоит из прямоугольника со сторонами $a = 6$ см и $b = 4$ см и треугольника с основанием $c = 4$ см и высотой $h = 3$ см. Площадь прямоугольника $S_1 = 6 \cdot 4 = 24$ см².

Площадь треугольника $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ см².

Общая площадь фигуры равна $S = 24 + 6 = 30$ см². Проверка: если вычесть из общей площади площадь треугольника, снова получится площадь прямоугольника: $30 - 6 = 24$ см².

Формула Пика по клеткам. Фигура на клетчатой сетке имеет $B = 10$ точек на границе и $I = 5$ точек внутри.

По формуле Пика площадь равна $S = 5 + \frac{10}{2} - 1 = 9$ клеток.

Каждая клетка сетки равна одной квадратной единице, значит площадь фигуры составляет $9$ квадратных единиц. Проверка: если бы внутренних точек было на одну больше, площадь по той же формуле выросла бы ровно на одну клетку, до $10$ квадратных единиц.

Частые ошибки

• Забывают учитывать половину площади для неполных клеток на границе фигуры.
• Складывают площади частей фигуры, которые на самом деле перекрываются друг с другом.
• Путают буквы формулы Пика: подставляют внутренние точки вместо граничных и наоборот.

Коротко

Как найти площадь фигуры произвольной формы — разбить её на простые части и сложить площади либо применить формулу Пика для фигуры на клетчатой сетке. Выбор способа зависит от того, даны размеры сторон или только клетчатая сетка с точками.