Как найти площадь многоугольника описанного около окружности

Как найти площадь многоугольника описанного около окружности: нужно радиус вписанной окружности умножить на полупериметр фигуры, то есть на половину суммы всех её сторон. Формула работает для любого числа сторон — треугольника, четырёхугольника, произвольного многоугольника, — если окружность касается каждой стороны изнутри, не выходя за контур фигуры. Достаточно знать периметр и радиус, высота или площадь через основание для этого способа вообще не нужны.

$S = r \cdot p$

Разбор по случаям

Примеры

Треугольник с вписанной окружностью. В треугольник со сторонами $6\text{ см}$, $8\text{ см}$ и $10\text{ см}$ вписана окружность радиусом $2\text{ см}$, и нужно найти площадь этого треугольника коротким способом. Периметр треугольника равен $6+8+10=24\text{ см}$, а полупериметр равен $24 : 2 = 12\text{ см}$.

Площадь находят по формуле через радиус вписанной окружности: $S = 2 \times 12 = 24\text{ см}^2$.

Такой же результат даёт прямое вычисление площади этого прямоугольного треугольника через катеты $6\text{ см}$ и $8\text{ см}$, что подтверждает верность ответа.

Описанный четырёхугольник. Около окружности описан четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон равна $5\text{ см}$ и $9\text{ см}$, а радиус окружности равен $3\text{ см}$.

Из свойства описанного четырёхугольника сумма противоположных сторон одинакова, поэтому периметр всей фигуры равен $2 \times (5+9) = 28\text{ см}$, а полупериметр равен $14\text{ см}$.

Площадь фигуры находят умножением радиуса на полупериметр: $S = 3 \times 14 = 42\text{ см}^2$, и других данных для этого не требуется.

Частые ошибки

• Радиус описанной окружности путают с радиусом вписанной окружности, хотя это две разные окружности.
• Периметр делят на полупериметр неверно или забывают про деление суммы сторон на два вовсе.
• Формулу применяют к многоугольнику, в который окружность на самом деле не вписана, а лишь пересекает стороны.

Коротко

Как найти площадь многоугольника описанного около окружности — умножить радиус вписанной окружности на полупериметр фигуры. Формула одинаково работает для треугольника, четырёхугольника и любого другого описанного многоугольника.