Как найти площадь круга по длине окружности

Чтобы понять, как найти площадь круга по длине окружности, сначала находят радиус, разделив длину окружности на удвоенное число пи. После этого радиус возводят в квадрат и умножают на число пи — получается искомая площадь круга. Этот способ удобен, когда в условии задачи дан именно периметр окружности, а не радиус или диаметр фигуры напрямую, и переводить одну величину в другую приходится отдельным действием.

$S = \frac{C^2}{4\pi}$

Разбор по случаям

Примеры

через радиус. Длина окружности равна $C = 12,56\text{ см}$, число $\pi \approx 3,14$.

Радиус находят из формулы длины окружности: $R = \frac{C}{2\pi} = \frac{12,56}{6,28} = 2\text{ см}$.

Площадь круга равна $S = \pi R^2 = 3,14 \cdot 2^2 = 3,14 \cdot 4 = 12,56\text{ см}^2$.

Радиус и площадь в этом примере совпали по числу лишь случайно, из-за подобранных значений.

напрямую через формулу. Длина окружности равна $C = 31,4\text{ см}$.

Площадь находят сразу по формуле $S = \frac{C^2}{4\pi} = \frac{31,4^2}{4 \cdot 3,14} = \frac{985,96}{12,56} = 78,5\text{ см}^2$.

Тот же результат получится, если сначала найти радиус $R = \frac{31,4}{6,28} = 5\text{ см}$, а потом подставить его в формулу $S = \pi R^2 = 3,14 \cdot 25 = 78,5\text{ см}^2$.

Частые ошибки

• Подставляют длину окружности напрямую вместо радиуса в формулу площади, минуя выражение радиуса.
• При переходе от длины окружности к радиусу делят не на удвоенное число пи, а только на само число пи.
• Путают диаметр с радиусом при переходе от одной формулы площади к другой, теряя множитель два.

Коротко

Вопрос, как найти площадь круга по длине окружности, решается либо через промежуточный радиус, либо напрямую по формуле с квадратом длины окружности в знаменателе с числом пи. Оба способа дают одинаковый результат, если число пи округлено одинаково в обоих случаях вычислений и единицы измерения совпадают.