Как найти площадь неравносторонней фигуры

Чтобы понять, как найти площадь неравносторонней фигуры, у которой все стороны разной длины, её обычно делят диагональю на два треугольника. Если известны все стороны каждого треугольника, площадь каждого находят по формуле Герона и складывают результаты. Если вместо стороны известен угол между двумя сторонами, сначала находят диагональ по теореме косинусов, а затем считают площади обоих треугольников. Для фигуры с известными координатами вершин или нарисованной на клетчатой бумаге используют формулу по координатам или подсчёт клеток.

$S = S_1 + S_2$

Разбор по случаям

Примеры

Четырёхугольник разбит на треугольники 6-8-10 и 10-13-13. Диагональ длиной $d = 10$ см делит четырёхугольник на два треугольника.

Первый треугольник со сторонами $6$, $8$ и $10$ см имеет площадь $S_1 = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = 24$ см².

Второй треугольник со сторонами $10$, $13$ и $13$ см имеет площадь $S_2 = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 5} = 60$ см².

Площадь всей фигуры равна $S = 24 + 60 = 84$ см².

Диагональ четырёхугольника по теореме косинусов. В одном из треугольников известны стороны $a = 5$ см и $b = 8$ см и угол между ними $\gamma = 60^\circ$, где $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

По теореме косинусов диагональ равна $d = \sqrt{5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$ см, и по ней дальше считают площади обоих треугольников.

Частые ошибки

• Пытаются применить формулу правильной фигуры к фигуре с разными сторонами и получают неверный результат.
• При разбиении диагональю забывают, что нужно посчитать и сложить оба треугольника, а не только один.
• В теореме косинусов путают знак перед произведением сторон и получают неверную длину диагонали.

Коротко

Чтобы понять, как найти площадь неравносторонней фигуры, её делят диагональю на треугольники, а площадь каждого находят по формуле Герона или через теорему косинусов. Координаты вершин или клетчатый чертёж дают другой способ получить тот же результат.