Как найти площадь произвольной фигуры

Чтобы понять, как найти площадь произвольной фигуры, сначала смотрят, чем именно она задана в условии. Если известны координаты вершин многоугольника, площадь считают через сумму произведений координат соседних точек. Если фигура нарисована на клетчатой бумаге без точных размеров сторон, считают целые клетки внутри и половину клеток на границе. Если фигуру можно разбить на прямоугольники, треугольники и трапеции, складывают их площади по отдельности. Для фигуры под графиком функции на отрезке применяют определённый интеграл от этой функции.

$S = \frac{1}{2}\left| \sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$

Разбор по случаям

Примеры

Фигура на клетчатой бумаге. На чертеже фигура занимает $18$ целых клеток внутри контура и ещё $6$ клеток пересекает её граница. По формуле счёта клеток площадь равна $S = 18 + \frac{6}{2} = 21$ клетке, а при стороне клетки $1$ см — $21$ см².

Многоугольник по координатам вершин. Вершины фигуры заданы точками $A(1,1)$, $B(5,1)$, $C(6,4)$ и $D(2,5)$ в сантиметрах на координатной плоскости. По формуле площади через координаты сумма произведений равна $30$, поэтому площадь фигуры равна $S = \frac{30}{2} = 15$ см², если обход вершин выбран по часовой стрелке.

Частые ошибки

• Пытаются подобрать одну готовую формулу для любой фигуры вместо того, чтобы сначала выбрать подходящий способ подсчёта по условию задачи.
• При счёте по клеткам забывают делить пограничные клетки пополам и ошибочно берут их как целые.
• При разбиении на части складывают площади кусков, которые на самом деле накладываются друг на друга или оставляют пропуски.

Коротко

Чтобы понять, как найти площадь произвольной фигуры, выбирают способ по тому, что известно: координаты, клетки чертежа, разбиение на простые части или график функции. Результат будет верным при любом способе, если исходные данные подставлены точно и без пропущенных частей фигуры.