Как найти угол прямоугольного треугольника, зная катеты

Как найти угол прямоугольного треугольника, зная катеты — через тангенс: $\tan\alpha = \dfrac{a}{b}$, где $a$ — катет, противолежащий искомому углу, а $b$ — прилежащий. Значение угла получают по таблице арктангенсов или на калькуляторе. Если вместо катетов известны катет и гипотенуза, угол находят через синус или косинус, а второй катет — по теореме Пифагора. Второй острый угол всегда равен $90^\circ$ минус найденный.

$\tan\alpha = \frac{a}{b}$

Разбор по случаям

Примеры

по двум катетам. В прямоугольном треугольнике катеты равны $a = 3\text{ см}$ и $b = 4\text{ см}$.

Тангенс угла, противолежащего катету $a$, равен $\tan\alpha = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} = 0{,}75$, откуда $\alpha \approx 36{,}9^\circ$.

Второй острый угол находят как $\beta = 90^\circ - 36{,}9^\circ = 53{,}1^\circ$.

Такой треугольник соответствует классической паре сторон 3-4-5. Такой способ применяют, когда в задаче даны длины обоих катетов, а угол нужно вычислить через арктангенс их отношения. Оба острых угла в сумме всегда дают 90 градусов.

по катету и гипотенузе. В прямоугольном треугольнике катет $a = 5\text{ см}$ лежит против искомого угла, а гипотенуза равна $c = 13\text{ см}$.

Синус угла равен $\sin\alpha = \frac{a}{c} = \frac{5}{13} \approx 0{,}385$, откуда $\alpha \approx 22{,}6^\circ$.

Второй катет по теореме Пифагора равен $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{169 - 25} = 12\text{ см}$, что соответствует тройке 5-12-13.

Такой способ применяют, когда катет и гипотенуза даны, а второй катет неизвестен заранее. Проверить результат можно, вычислив косинус того же угла через второй катет и гипотенузу.

Частые ошибки

• Путают, какой катет лежит против искомого угла, и берут для тангенса не ту сторону.
• Находят угол через синус, подставляя катет вместо гипотенузы в знаменатель дроби.
• Забывают, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, и путают их местами.

Коротко

Чтобы понять, как найти угол прямоугольного треугольника, зная катеты, делят один катет на другой и берут арктангенс результата. Если вместо второго катета известна гипотенуза, тот же угол находят через синус или косинус, а сумма обоих острых углов остаётся равной 90°.