Как найти сторону равностороннего треугольника, зная площадь

Как найти сторону равностороннего треугольника, зная площадь, помогает формула $a = 2\sqrt{S/\sqrt3}$, которая получена обращением обычной формулы площади равностороннего треугольника $S = \frac{\sqrt3}{4}a^2$. Сначала под корнем составляют дробь из площади и числа $\sqrt3$, затем извлекают квадратный корень из результата — так получают длину стороны в тех же единицах, в каких дана площадь. Если площадь записана через радикал, вычисление получается точным, без округлений, а единицы измерения стороны совпадают с единицами корня из площади.

Разбор по случаям

Примеры

Площадь дана с корнем из трёх. Площадь равностороннего треугольника равна $S = 9\sqrt3$ см².

По формуле $a = 2\sqrt{S/\sqrt3}$ подставляют число: $a = 2\sqrt{9\sqrt3/\sqrt3} = 2\sqrt9 = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Проверка обратным ходом через формулу площади $S = \frac{\sqrt3}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt3}{4}\cdot36 = 9\sqrt3$ см² подтверждает, что сторона найдена верно, и корень из трёх сократился без остатка при подстановке.

Известна высота вместо площади. В равностороннем треугольнике измерили высоту $h = 6\sqrt3$ см.

По формуле $a = \frac{2h}{\sqrt3}$ находят сторону: $a = \frac{2 \cdot 6\sqrt3}{\sqrt3} = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Проверка через площадь $S = \frac{\sqrt3}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt3}{4} \cdot 144 = 36\sqrt3$ см² показывает, что высота и сторона согласованы между собой, и результат не зависит от того, какая величина дана в условии изначально — площадь или высота треугольника.

Такой способ удобен, когда в задаче начерчен только высотный отрезок и не подписана сама площадь фигуры.

Частые ошибки

• Забывают, что $\sqrt3$ в числителе и знаменателе под общим корнем сокращается не сразу, и оставляют в ответе лишний радикал.
• Путают формулу площади равностороннего треугольника $S = \frac{\sqrt3}{4}a^2$ с формулой площади квадрата и берут просто $a^2$.
• При переходе от высоты к стороне забывают множитель $\frac{2}{\sqrt3}$ и делят высоту пополам, как в прямоугольном треугольнике.

Коротко

Как найти сторону равностороннего треугольника, зная площадь, — значит обратить формулу $S = \frac{\sqrt3}{4}a^2$ и извлечь корень из отношения площади к $\sqrt3$. Тот же результат при известной высоте даёт формула $a = \frac{2h}{\sqrt3}$, а периметр служит для быстрой проверки ответа.