Как найти площадь треугольника, зная два катета

Чтобы найти, как найти площадь треугольника, зная два катета, их длины перемножают и результат делят пополам: $S = \frac12 ab$, где a и b — катеты прямоугольного треугольника, то есть стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза и высота для этой формулы не нужны вовсе, потому что один катет уже служит высотой относительно другого. Если дан лишь один катет и гипотенуза, второй катет сначала находят по теореме Пифагора, а затем подставляют оба значения в ту же формулу площади.

$S = \frac{1}{2} a b$

Разбор по случаям

Примеры

Оба катета известны. Катеты прямоугольного треугольника равны $a=6$ см и $b=8$ см. Площадь $S=\frac12\cdot6\cdot8=24$ см².

Гипотенуза при этом равна $c=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ см, но для площади она вообще не понадобилась, ведь оба катета уже перпендикулярны друг другу и один из них служит высотой для другого.

Это классический треугольник со сторонами 6, 8 и 10.

Катет и гипотенуза. Дан катет $a=5$ см и гипотенуза $c=13$ см.

Второй катет по теореме Пифагора $b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ см.

Площадь треугольника $S=\frac12\cdot5\cdot12=30$ см². Такой же результат даёт запасная формула через угол между катетом и гипотенузой, если найти его синус и косинус заранее по тем же трём сторонам треугольника, а затем подставить их в формулу двойного угла.

Частые ошибки

• Путают катет с гипотенузой и подставляют в формулу длину наклонной стороны вместо перпендикулярной.
• Забывают разделить произведение катетов пополам и получают ровно удвоенную площадь треугольника.
• При известном катете и гипотенузе складывают их квадраты вместо вычитания при поиске второго катета.

Коротко

Итог: как найти площадь треугольника, зная два катета — перемножить их и разделить результат пополам, ведь один катет играет роль высоты относительно другого. Если вместо второго катета дана гипотенуза или угол, его сначала находят через теорему Пифагора или тригонометрию.