Как найти площадь сечения параллелепипеда

Отвечая, как найти площадь сечения параллелепипеда, чаще всего берут диагональное сечение: секущая плоскость проходит через диагональ основания перпендикулярно ему, и получившийся прямоугольник имеет стороны, равные диагонали основания $d$ и высоте $h$ параллелепипеда. Площадь считают по формуле $S = h \sqrt{a^2+b^2}$, где $a$ и $b$ — стороны основания, а диагональ находят через теорему Пифагора. Если секущая плоскость параллельна одной из граней, площадь сечения равна площади этой грани без дополнительных вычислений.

Разбор по случаям

Примеры

Диагональное сечение 3×4×5 см. Дано: прямоугольный параллелепипед с основанием $a = 3\text{ см}$, $b = 4\text{ см}$ и высотой $h = 5\text{ см}$.

Сначала находят диагональ основания по теореме Пифагора: $d = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5\text{ см}$.

Секущая плоскость проходит через эту диагональ перпендикулярно основанию, поэтому сечение получается прямоугольным, а его стороны равны диагонали основания и высоте параллелепипеда.

Площадь находят умножением: $S = d \times h = 5 \times 5 = 25\text{ см}^2$.

Такое сечение называют диагональным, и оно самое частое в школьных задачах.

Сечение параллельно грани 6×9×4 см. Параллелепипед имеет рёбра $6\text{ см}$, $9\text{ см}$ и $4\text{ см}$. Секущая плоскость проведена параллельно грани со сторонами $6\text{ см}$ и $9\text{ см}$ на некоторой высоте внутри тела.

Такое сечение повторяет форму и размеры этой грани, поэтому его площадь равна площади грани: $S = 6 \times 9 = 54\text{ см}^2$.

Высота параллелепипеда на результат сечения не влияет, важны только стороны параллельной грани.

Частые ошибки

• Путают диагональное сечение с сечением, параллельным грани, и подставляют в формулу не те стороны.
• Забывают применить теорему Пифагора для диагонали основания и берут вместо неё сумму сторон.
• Считают площадь сечения равной площади основания, хотя секущая плоскость проходит под другим углом.

Коротко

Площадь сечения параллелепипеда зависит от того, как проведена секущая плоскость: через диагональ основания, параллельно грани или под произвольным углом. Разобравшись, как найти площадь сечения параллелепипеда, для каждого случая достаточно определить форму сечения и подставить нужные стороны в формулу прямоугольника или параллелограмма.