Как найти площадь сечения призмы

Чтобы понять, как найти площадь сечения призмы, сначала определяют форму фигуры, которая получилась в разрезе. Если плоскость идёт параллельно основанию, сечение повторяет основание, и его площадь считают как площадь основания. Если плоскость проходит по диагонали прямоугольного параллелепипеда, сечение — прямоугольник со сторонами: боковым ребром и диагональю основания. Для наклонной призмы перпендикулярное сечение находят делением боковой площади на длину бокового ребра.

$S_{sech} = \frac{S_{bok}}{l}$

Разбор по случаям

Примеры

Диагональное сечение параллелепипеда 3×4×5. Прямоугольный параллелепипед имеет рёбра основания $a = 3\text{ см}$, $b = 4\text{ см}$ и боковое ребро $c = 5\text{ см}$.

Диагональ основания находят по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{ см}$.

Сечение, проходящее через эту диагональ и боковое ребро, — прямоугольник со сторонами $d$ и $c$: $S = 5 \cdot 5 = 25\text{ см}^2$.

Так диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда равно 25 квадратным сантиметрам, и обе стороны прямоугольника здесь случайно совпали.

Перпендикулярное сечение наклонной призмы. У наклонной призмы боковая площадь поверхности равна $S_{bok} = 180\text{ см}^2$, а длина бокового ребра равна $l = 12\text{ см}$.

Перпендикулярное сечение находят делением боковой площади на длину ребра: $S = \frac{180}{12} = 15\text{ см}^2$.

Этот приём работает, потому что боковая поверхность наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра, а не наоборот, как иногда пытаются считать.

Частые ошибки

• Считают сечение как площадь основания даже тогда, когда плоскость идёт по диагонали, а не параллельно основанию.
• Путают диагональное сечение с боковой гранью и берут не ту пару сторон для умножения.
• У наклонной призмы делят боковую площадь на длину основания вместо длины бокового ребра.

Коротко

Результат всегда зависит от того, как расположена секущая плоскость: параллельно основанию, по диагонали или перпендикулярно боковому ребру. Понять, как найти площадь сечения призмы, проще всего через разбор конкретной фигуры, которая получилась в разрезе.