Как найти площадь трапеции, зная все стороны

Как найти площадь трапеции, зная все стороны — сначала находят высоту через вспомогательный треугольник со сторонами $a-b$, $c$ и $d$, применяя к нему формулу Герона, а уже потом подставляют высоту в обычную формулу площади трапеции $S = \frac{a+b}{2} h$. Если одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, она сама и есть высота, и вычисления заметно упрощаются. Для равнобедренной трапеции с равными боковыми сторонами высоту находят ещё проще — через теорему Пифагора.

Разбор по случаям

Примеры

Через вспомогательный треугольник. Основания трапеции равны $a = 10$ см и $b = 4$ см, боковые стороны равны $c = 5$ см и $d = 5$ см. Строят вспомогательный треугольник со сторонами $a - b = 6$ см, $c = 5$ см и $d = 5$ см, его полупериметр равен $p = 8$ см.

Площадь этого треугольника по формуле Герона равна $\sqrt{8 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = 12$ см², откуда высота трапеции равна $h = \frac{2 \cdot 12}{6} = 4$ см.

Площадь самой трапеции равна $S = \frac{10+4}{2} \cdot 4 = 28$ см².

Прямоугольная трапеция. Основания трапеции равны $a = 8$ см и $b = 5$ см, боковые стороны равны $c = 5$ см и $d = 4$ см, причём сторона $d$ перпендикулярна обоим основаниям.

В этом случае сторона $d$ сама является высотой, поэтому площадь находят сразу: $S = \frac{a+b}{2} \cdot d = \frac{8+5}{2} \cdot 4 = 26$ см².

Проверка через вспомогательный треугольник со сторонами $3$, $5$ и $4$ даёт ту же высоту $h = 4$ см, потому что эти числа образуют прямоугольный треугольник.

Частые ошибки

• Высоту трапеции путают с боковой стороной и подставляют её длину напрямую в формулу площади вместо настоящей высоты.
• В формуле Герона для вспомогательного треугольника используют полный периметр вместо полупериметра p.
• Разность оснований a-b путают с их суммой при вычислении стороны вспомогательного треугольника.

Коротко

Как найти площадь трапеции, зная все стороны — построить вспомогательный треугольник из разности оснований и боковых сторон, найти его площадь по формуле Герона и через неё получить высоту трапеции. Дальше высоту подставляют в обычную формулу $S = \frac{a+b}{2} h$, как и в задаче с уже известной высотой.