Как найти площадь треугольника по двум сторонам

Как найти площадь треугольника по двум сторонам — умножить стороны и синус угла между ними, а результат разделить пополам: $S = \frac12 ab\sin\gamma$. Если угол между сторонами прямой, синус равен единице, и формула упрощается до $S = \frac12 ab$. Если вместо угла известна третья сторона, площадь находят по формуле Герона через полупериметр всех трёх сторон. Для катета и гипотенузы сначала находят второй катет по теореме Пифагора.

Разбор по случаям

Примеры

по катетам. В прямоугольном треугольнике катеты равны $a = 5\text{ см}$ и $b = 12\text{ см}$, угол между ними прямой.

Площадь находят по упрощённой формуле $S = \frac12 ab = \frac12 \cdot 5 \cdot 12 = 30\text{ см}^2$.

Синус прямого угла равен единице, поэтому общая формула площади сводится к простому произведению катетов, делённому на два. Такой способ самый быстрый, если известно, что угол между сторонами равен 90 градусам.

по стороне и углу. Стороны треугольника равны $a = 6\text{ см}$ и $b = 8\text{ см}$, угол между ними $\gamma = 30^\circ$.

Площадь находят по формуле $S = \frac12 ab\sin\gamma = \frac12 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ = 24 \cdot 0{,}5 = 12\text{ см}^2$.

Значение синуса 30 градусов равно 0,5, это одно из табличных значений, которое стоит помнить наизусть. Такой способ применяют в задачах ЕГЭ и ОГЭ, когда угол между сторонами дан напрямую. Формула площади через синус угла подходит для любого треугольника, а не только для прямоугольного.

Частые ошибки

• Забывают, что нужен именно угол между данными сторонами, а не любой угол треугольника.
• Используют формулу с половиной произведения сторон, даже если угол между ними не 90 градусов.
• Путают синус угла с косинусом при подстановке в формулу площади треугольника.

Коротко

Чтобы понять, как найти площадь треугольника по двум сторонам, нужен угол между ними: его синус умножают на обе стороны и делят результат пополам. Если угол не дан, но известна третья сторона или треугольник прямоугольный, площадь считают через формулу Герона или через произведение катетов.