Как найти площадь треугольника зная три стороны

Как найти площадь треугольника зная три стороны: сначала находят полупериметр — сумму всех трёх сторон, делённую пополам. Затем из полупериметра поочерёдно вычитают каждую из трёх сторон и перемножают полупериметр с полученными тремя разностями. Из итогового произведения извлекают квадратный корень — это и есть площадь треугольника по формуле Герона. Способ работает для любого треугольника, если стороны действительно образуют треугольник, а не какое-то другое сочетание отрезков.

$S = \sqrt{p (p-a)(p-b)(p-c)}$

Разбор по случаям

Примеры

стороны 13, 14, 15. Стороны треугольника $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$.

Полупериметр $p = \frac{13+14+15}{2} = 21$.

Находим разности: $p-a=8$, $p-b=7$, $p-c=6$.

Подставляем: $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$.

Площадь треугольника равна 84 квадратным единицам.

равнобедренный треугольник. Стороны треугольника $a = 5$, $b = 5$, $c = 6$. Полупериметр $p = \frac{5+5+6}{2} = 8$. Разности равны $p-a=3$, $p-b=3$, $p-c=2$.

Подставляем: $S = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12$.

Результат совпадает со счётом через высоту треугольника.

Частые ошибки

• Забывают сначала найти полупериметр и по ошибке подставляют в формулу сразу полный периметр вместо половины суммы сторон.
• Путают порядок вычитания в скобках формулы Герона, например считают разность как сторону минус полупериметр вместо обратного порядка.
• Не проверяют неравенство треугольника заранее и пытаются найти площадь треугольника по трём сторонам, которые вообще не образуют настоящий треугольник.

Коротко

Как найти площадь треугольника зная три стороны: формула Герона через полупериметр подходит для любого треугольника независимо от вида его углов и без знания высот. Для равностороннего или прямоугольного треугольника иногда удобнее использовать более короткие частные формулы вместо полной формулы Герона.