Как найти расстояние между векторами

Как найти расстояние между векторами: вычесть из координат одного вектора координаты другого и найти длину получившегося вектора разности. На плоскости из разности первых координат и разности вторых координат складывают квадраты и извлекают квадратный корень. В пространстве добавляется третье слагаемое под корнем — квадрат разности третьих координат. Если известны только длины векторов и угол между ними, расстояние находят через теорему косинусов, применённую к вектору разности.

$d = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Векторы заданы на плоскости. Пусть вектор $a = (1;2)$, а вектор $b = (4;6)$.

Расстояние между их концами находим по формуле: $d = \sqrt{(1-4)^2+(2-6)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Это же число получится, если сначала найти вектор разности $a - b = (-3;-4)$, а затем вычислить его длину, что подтверждает связь расстояния с модулем разности векторов. Такой способ подходит для любых двух векторов, заданных координатами на плоскости, независимо от их направления и длины.

Известны длины векторов и угол между ними. Пусть длины векторов $|a| = 3$ и $|b| = 5$, а угол между ними $\varphi = 120°$.

По теореме косинусов для вектора разности: $d^2 = |a|^2+|b|^2-2|a||b|\cos\varphi = 9+25-2\cdot3\cdot5\cdot(-0{,}5) = 34+15 = 49$.

Значит $d = \sqrt{49} = 7$ — расстояние получилось целым числом благодаря удобному углу в 120 градусов. Такой приём удобен, когда координаты векторов неизвестны, но заданы их модули и угол между направлениями. Этот способ часто применяют в физике при сложении сил или скоростей.

Частые ошибки

• Складывают координаты векторов вместо вычитания и получают расстояние до вектора суммы, а не разности.
• Забывают третью координату в пространственной задаче и считают расстояние только по двум осям.
• Путают формулу расстояния с углом между векторами и подставляют косинус угла вместо разности координат.

Коротко

Как найти расстояние между векторами — вычесть их координаты, возвести разности в квадрат, сложить и извлечь корень. Расстояние между векторами всегда совпадает с длиной вектора их разности, независимо от того, заданы они на плоскости или в пространстве.