Как найти угол между диагоналями

Как найти угол между диагоналями, зависит от того, какая фигура дана и что о ней известно. Если есть координаты вершин, угол находят через векторы диагоналей и формулу косинуса: cosθ = (d1·d2)/(|d1||d2|). Если фигура — ромб или квадрат, угол всегда равен 90°, потому что их диагонали перпендикулярны по свойству фигуры. Для параллелограмма со сторонами и обеими диагоналями применяют теорему косинусов.

$\cos\theta = \frac{\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}}{|\vec{d_1}||\vec{d_2}|}$

Разбор по случаям

Примеры

По координатам вершин прямоугольника. Вершины прямоугольника: $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(6;8)$, $D(0;8)$. Вектор диагонали $\vec{AC}=(6;8)$, вектор $\vec{BD}=(-6;8)$.

Косинус угла: $\cos\theta = \frac{6\cdot(-6)+8\cdot8}{\sqrt{100}\cdot\sqrt{100}} = \frac{28}{100} = 0{,}28$.

Угол между диагоналями составляет примерно $73{,}7°$.

Ромб с диагоналями 6 и 8. Сторона ромба $a=5\text{ см}$, диагонали $d_1=6\text{ см}$ и $d_2=8\text{ см}$. Половины диагоналей равны $3\text{ см}$ и $4\text{ см}$. Проверка по теореме Пифагора: $3^2+4^2=9+16=25=5^2$. Значит угол между половинами диагоналей прямой, и весь угол равен $90°$.

Частые ошибки

• Считают диагонали перпендикулярными в любом параллелограмме, хотя это верно только для ромба и квадрата.
• При работе с векторами путают направление диагоналей и получают смежный угол — 180° минус искомый.
• Забывают, что косинус угла между диагоналями может быть отрицательным, и берут значение по модулю, теряя тупой угол.

Коротко

Способ найти угол зависит от того, что дано: координаты вершин, стороны с диагоналями или тип фигуры вроде ромба. Эти варианты полностью закрывают вопрос, как найти угол между диагоналями, для параллелограмма, прямоугольника и ромба.