Как найти угол между плоскостями методом координат

Как найти угол между плоскостями методом координат — из уравнений плоскостей выписывают координаты нормальных векторов, находят их скалярное произведение и длину каждого вектора отдельно друг от друга. Косинус искомого угла равен модулю скалярного произведения, делённому на произведение длин обоих нормальных векторов. Угол в градусах получают через арккосинус найденного значения, а если нормали пропорциональны, плоскости параллельны и угол между ними равен нулю градусов.

$\cos\varphi = \frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$

Разбор по случаям

Примеры

Две плоскости общего вида. Для плоскостей $x+2y-2z+3=0$ и $2x-y+2z-1=0$ нормальные векторы равны $n_1=(1,2,-2)$ и $n_2=(2,-1,2)$, их координаты берут прямо из коэффициентов уравнений плоскостей. Скалярное произведение $n_1\cdot n_2 = 2-2-4=-4$, а модули векторов равны $|n_1|=|n_2|=3$. Такой расчёт типичен для задач по стереометрии в старших классах школы и на выпускных экзаменах вуза.

Тогда $\cos\varphi = \frac{4}{3\cdot3} = \frac{4}{9} \approx 0{,}44$, откуда угол $\varphi \approx 63{,}6^\circ$.

Плоскость и координатная Oxy. Плоскость $2x+y+2z-5=0$ имеет нормаль $n_1=(2,1,2)$ с модулем $|n_1|=3$, а координатная плоскость $Oxy$ — нормаль $n_2=(0,0,1)$ единичной длины по определению координатных плоскостей в пространстве. Такое сочетание часто встречается в задачах на угол наклона плоскости к горизонтальному полу или земле в курсе стереометрии.

Скалярное произведение $n_1\cdot n_2 = 2$, поэтому $\cos\varphi = \frac{2}{3} \approx 0{,}667$, а угол $\varphi \approx 48{,}2^\circ$.

Частые ошибки

• Берут координаты точки плоскости вместо коэффициентов нормального вектора при подстановке.
• Забывают взять модуль скалярного произведения, из-за чего найденный угол получается тупым, а не острым.
• Не переводят найденный косинус в градусы через арккосинус в самом конце решения задачи.

Коротко

Угол между плоскостями находят через косинус, равный отношению модуля скалярного произведения нормалей к произведению длин этих векторов друг на друга. Как найти угол между плоскостями методом координат, показывают оба примера с разным способом задания исходных плоскостей в пространстве.