Как найти косинус между двумя векторами

Как найти косинус между двумя векторами, зависит от того, что дано в условии: координаты или длины и скалярное произведение. Если известны координаты векторов, косинус равен отношению суммы произведений соответствующих координат к произведению длин обоих векторов. Если известны длины векторов и их скалярное произведение, косинус находят прямым делением скалярного произведения на произведение длин, а угол при необходимости находят через арккосинус полученного числа.

$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Разбор по случаям

Примеры

по координатам векторов. Даны векторы $\vec{a} = (3; 4)$ и $\vec{b} = (4; 3)$.

Сначала находим скалярное произведение, перемножая одноимённые координаты и складывая результаты: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 24$.

Затем находим длины векторов: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 5$.

Косинус угла между векторами равен: $\cos\alpha = \dfrac{24}{5 \cdot 5} = 0{,}96$.

Такой способ подходит, когда координаты обоих векторов заданы напрямую в условии задачи, без дополнительных данных о длинах.

по длинам и скалярному произведению. Длины векторов равны $|\vec{a}| = 3$ и $|\vec{b}| = 4$, а их скалярное произведение равно $6$.

Подставляем данные в формулу косинуса: $\cos\alpha = \dfrac{6}{3 \cdot 4} = 0{,}5$, значит угол между векторами равен $60^\circ$, поскольку косинус $60^\circ$ равен ровно $0{,}5$.

Координаты векторов при таком способе вообще не нужны, если скалярное произведение и длины уже даны в условии.

Частые ошибки

• Путают скалярное произведение с обычным произведением длин векторов и делят длины друг на друга.
• В координатной формуле складывают произведения координат крест-накрест вместо произведений одноимённых координат векторов.
• Забывают, что длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат, и подставляют саму сумму без корня.

Коротко

Как найти косинус между двумя векторами, определяют через формулу: скалярное произведение векторов делят на произведение их длин. Координаты векторов при этом позволяют вычислить и скалярное произведение, и длины каждого вектора по отдельности, без дополнительных построений.