Как найти синус угла зная косинус

Как найти синус угла зная косинус: применяют основное тригонометрическое тождество — сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна единице. Синус угла через косинус выражается корнем из разности единицы и квадрата косинуса. Если угол находится в пределах от 0 до 180 градусов, синус всегда положителен, и перед корнем ставят знак плюс. Для угла от 180 до 360 градусов синус отрицателен, поэтому перед корнем нужно поставить знак минус.

$\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha}$

Разбор по случаям

Примеры

Угол острый, известен косинус 3/5. Пусть $\cos\alpha = \frac{3}{5}$, а угол острый и лежит в первой четверти.

По тождеству находим $\sin\alpha = \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Знак плюс берём потому, что для острого угла синус всегда положителен, а дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$ соответствуют сторонам прямоугольного треугольника 3-4-5. Такой способ подходит для острых углов треугольника, где корень берут только со знаком плюс, а результат всегда меньше единицы.

Угол в третьей четверти, косинус отрицателен. Пусть $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$, а угол лежит в третьей четверти, между 180° и 270° (например, $\alpha = 240°$).

Сначала находим модуль синуса: $\sqrt{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt3}{2}$.

Поскольку в третьей четверти синус отрицателен, перед корнем ставим минус: $\sin\alpha = -\frac{\sqrt3}{2}$.

Это классический пример угла 240 градусов из таблицы тригонометрических значений. Проверить знак можно по единичной окружности: в третьей четверти обе координаты точки, косинус и синус, отрицательны.

Частые ошибки

• Забывают учитывать четверть угла и берут только положительный корень, хотя синус должен быть отрицательным.
• Путают тождество с обычным сложением синуса и косинуса, забывая про возведение в квадрат.
• Извлекают корень из отрицательного числа, если по ошибке подставляют квадрат косинуса больше единицы.

Коротко

Как найти синус угла зная косинус, определяет основное тригонометрическое тождество: из единицы вычитают квадрат косинуса и извлекают корень, а знак результата зависит от того, в какой четверти лежит угол. Синус угла через косинус всегда находится однозначно, если известен диапазон значений самого угла.