Как найти скалярный квадрат вектора

Чтобы понять, как найти скалярный квадрат вектора, координаты возводят в квадрат и складывают полученные числа между собой. Если вектор задан координатами 3 и 4, скалярный квадрат равен: 3 в квадрате плюс 4 в квадрате, то есть 9 плюс 16, итого 25. Результат совпадает с квадратом длины вектора, поскольку длина этого вектора равна 5, а 5 в квадрате даёт то же самое число 25.

$a^2 = |a|^2 = x^2+y^2$

Разбор по случаям

Примеры

Вектор (3;4). Вектор $a$ имеет координаты $(3; 4)$. Скалярный квадрат находим сложением квадратов координат: $a^2 = 3^2+4^2 = 9+16 = 25$. Длина вектора равна $\sqrt{25}=5$, а её квадрат $5^2=25$ совпадает с найденным числом. Значит, вычисление скалярного квадрата выполнено полностью верно.

Вектор через точки A и B. Точки $A(2; -1)$ и $B(-2; 2)$ задают вектор $AB$, направленный от первой точки ко второй на координатной плоскости.

Находим координаты: $AB = (-2-2; 2-(-1)) = (-4; 3)$.

Скалярный квадрат равен: $AB^2 = (-4)^2+3^2 = 16+9 = 25$.

Отрицательные координаты не мешают вычислению, поскольку каждая из них при возведении в квадрат всё равно даёт положительное число.

Частые ошибки

• Путают скалярный квадрат вектора с квадратом каждой отдельной координаты по отдельности, забывая их сложить друг с другом.
• Забывают, что результат вычисления — обычное число, а не вектор, и пытаются записать ответ в виде пары координат.
• Извлекают лишний квадратный корень из полученного результата, хотя скалярный квадрат уже равен квадрату длины вектора.

Коротко

Чтобы понять, как найти скалярный квадрат вектора, все его координаты возводят в квадрат и складывают полученные результаты между собой без извлечения корня из суммы. Итоговое число всегда совпадает с квадратом длины исходного вектора, заданного любым удобным способом.