Как найти длину вектора 7a - b

Ответ на вопрос «Как найти длину вектора 7a - b» начинается с координат: если $a = (a_1; a_2)$ и $b = (b_1; b_2)$, сначала находят координаты разности $7a - b = (7a_1 - b_1;\, 7a_2 - b_2)$, а затем модуль по теореме Пифагора.

Знак минус между слагаемыми важен только для направления итогового вектора, а не для его длины. Если координаты не даны, а известны модули векторов a, b и угол между ними, используют скалярное произведение вместо покомпонентного вычитания.

$|7\vec a - \vec b| = \sqrt{(7a_1-b_1)^2+(7a_2-b_2)^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Даны координаты векторов. Даны векторы $a = (1; 1)$ и $b = (4; 3)$.

Сначала находят $7a = (7; 7)$, затем $7a - b = (7-4;\, 7-3) = (3; 4)$.

Тогда длина вектора 7a - b равна $|7a-b| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Координаты (3; 4) образуют тот же прямоугольный треугольник, что и стороны 3, 4, 5.

Даны модули и угол. Модули векторов $|a| = 1$ и $|b| = 7$, угол между ними $\theta = 60^\circ$, $\cos\theta = 0{,}5$.

По формуле $|7a-b|^2 = 49\cdot 1 - 14\cdot 1\cdot 7\cdot 0{,}5 + 49 = 49$, откуда $|7a-b| = 7$.

Такое сочетание модулей и угла часто встречается в задачах на разложение векторов по базису.

Частые ошибки

• Умножают на 7 только первую координату вектора a, из-за чего длина вектора 7a - b получается заниженной и не совпадает с ответом учебника.
• Складывают модули |7a| и |b| напрямую, минуя вычитание координат или формулу с косинусом угла между векторами.
• Подставляют |a|² вместо 49|a|² в формулу с косинусом, забывая, что множитель 7 при возведении в квадрат превращается в 49.

Коротко

Как найти длину вектора 7a - b, показывают координаты: сначала умножают a на 7, вычитают b покомпонентно и берут корень из суммы квадратов. Без координат тот же результат даёт формула через модули векторов и косинус угла между ними.