Как найти длину вектора AV

Ответ на вопрос «Как найти длину вектора AV» даёт теорема Пифагора для координат: если точка A имеет координаты (x₁; y₁), а точка V — (x₂; y₂), то длина вектора AV равна корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат. Из координат точки V вычитают координаты точки A, а не наоборот, хотя на саму длину порядок не влияет. Тот же результат получают, если вектор AV сразу задан готовыми координатами (m; n), без восстановления точек.

$AV = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Даны координаты точек. Точка A имеет координаты $(1; 2)$, точка V — координаты $(5; 5)$. Из координат V вычитают координаты A: $x_2-x_1=5-1=4$ и $y_2-y_1=5-2=3$.

Тогда длина вектора AV равна $AV=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

Катеты 4 и 3 образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой 5.

Даны координаты вектора. Вектор AV задан координатами $(6; 8)$ без указания самих точек.

По формуле $AV=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

Этот способ короче, если координаты вектора уже вычислены заранее и восстанавливать точки A и V не требуется.

Частые ошибки

• Путают порядок вычитания координат: берут начало минус конец вместо конца минус начало, хотя на итоговую длину это не влияет.
• Забывают возводить разности координат в квадрат, из-за чего длина вектора AV получается заниженной.
• Смешивают координаты точек с уже готовыми координатами вектора и подставляют одни и те же числа в формулу дважды.

Коротко

Как найти длину вектора AV, показывает теорема Пифагора, применённая к разностям координат конца и начала. Если вектор уже задан своими координатами, длину находят ещё быстрее — по корню из суммы их квадратов, не восстанавливая точки A и V.