Как найти площадь шестиугольника, зная сторону

Как найти площадь шестиугольника, зная сторону — подставить длину стороны в формулу $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$, где $a$ — сторона правильного шестиугольника.

Формула получается из того, что шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$, площадь каждого из которых равна $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$. Умножив эту площадь на шесть, получают итоговую формулу для всей фигуры. Такую формулу применяют для любых задач на плитку, соты или паркет в форме правильного шестиугольника.

Разбор по случаям

Примеры

По стороне. Сторона правильного шестиугольника равна $a = 4$ см.

Площадь находят по формуле $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3 \cdot 1,732}{2} \cdot 16 \approx 2,598 \cdot 16 \approx 41,57$ см².

Такой шестиугольник можно представить как шесть одинаковых равносторонних треугольников со стороной 4 см каждый.

Проверить результат можно, посчитав площадь одного треугольника отдельно: $S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 \approx 6,93$ см², а затем умножив её на шесть: $6 \cdot 6,93 \approx 41,58$ см² — то же самое число с учётом округления.

Через апофему. Апофема правильного шестиугольника равна $m = 5$ см.

Площадь находят по формуле $S = 2\sqrt{3} m^2 = 2 \cdot 1,732 \cdot 25 \approx 3,464 \cdot 25 \approx 86,6$ см².

Сторону при этом можно найти отдельно по формуле $a = \frac{2m}{\sqrt{3}} \approx 5,77$ см, если она понадобится для чертежа.

Такой способ применяют в задачах про соты, гайки или напольную плитку правильной шестиугольной формы, где сторону измерить сложнее, чем расстояние до центра.

Частые ошибки

• В формулу подставляют диаметр вписанной окружности вместо стороны шестиугольника.
• Забывают, что множитель перед $a^2$ равен трём корням из трёх делённым на два, а не просто корню из трёх.
• Апофему путают со стороной шестиугольника и используют для неё не ту формулу площади.

Коротко

Как найти площадь шестиугольника, зная сторону — подставить её в формулу $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$, которая получается из площади шести равносторонних треугольников. Формулу также можно применить через радиус описанной окружности или апофему, если сторона напрямую не дана.