Как найти сумму векторов в задании ЕГЭ

Как найти сумму векторов в задании ЕГЭ: если векторы заданы координатами, соответствующие координаты складывают отдельно — первую с первой, вторую со второй. Если векторы показаны на рисунке без чисел, применяют правило треугольника: от конца первого откладывают начало второго, а суммой служит вектор из начала первого в конец второго. Когда известны только длины векторов и угол между ними, длину суммы находят через теорему косинусов.

$\vec c = \vec a + \vec b$

Разбор по случаям

Примеры

По координатам. Даны векторы $\vec a = (2;3)$ и $\vec b = (4;-1)$, оба заданы координатами по осям x и y в условии школьной задачи. Никаких построений на рисунке при этом не требуется. Складываем координаты каждой оси по отдельности: первую координату с первой $x = 2+4 = 6$, вторую со второй $y = 3+(-1) = 2$. Сумма равна $\vec c = (6;2)$ — это новый вектор с найденными координатами, готовый окончательный ответ задачи.

По длинам и углу. Длины векторов $|\vec a| = 3$ и $|\vec b| = 4$, угол между ними прямой и равен $90^\circ$, а точные координаты самих векторов в этой задаче вообще не заданы. Нужна только длина суммы, а не её направление.

По теореме косинусов подставляем известные числа: $|\vec a+\vec b| = \sqrt{3^2+4^2+2\cdot3\cdot4\cdot\cos90^\circ} = \sqrt{9+16+0} = 5$.

Косинус прямого угла равен нулю, поэтому последнее слагаемое под корнем полностью исчезает.

Частые ошибки

• Складывают модули векторов вместо их координат и получают совершенно неверный результирующий вектор суммы.
• Путают правило треугольника с правилом параллелограмма и откладывают второй вектор не из той нужной начальной точки.
• Забывают учесть знак координаты при сложении отрицательных значений и теряют минус в итоговом ответе.

Коротко

Как найти сумму векторов в задании ЕГЭ — сложить их координаты по каждой оси отдельно или построить результирующий вектор по правилу треугольника на чертеже. Для нескольких векторов сразу применяют правило многоугольника, соединяя их последовательно друг за другом, а для длины суммы — теорему косинусов.