Как найти векторное произведение векторов по координатам

Чтобы понять, как найти векторное произведение векторов по координатам, применяют формулу с попарными произведениями координат: $\vec{a}\times\vec{b} = (a_yb_z - a_zb_y;\ a_zb_x - a_xb_z;\ a_xb_y - a_yb_x)$.

Результат — это новый вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам одновременно. Для векторов на плоскости, где третья координата равна нулю у обоих, произведение сводится к одному числу — это площадь параллелограмма, построенного на данных векторах, взятая со знаком, который зависит от порядка векторов при перестановке местами.

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_yb_z - a_zb_y;\ a_zb_x - a_xb_z;\ a_xb_y - a_yb_x)$

Разбор по случаям

Примеры

векторы в пространстве. Даны векторы $\vec{a} = (1; 2; 3)$ и $\vec{b} = (4; 5; 6)$.

Координаты векторного произведения находят по формуле через попарные произведения координат: $x = 2\cdot6 - 3\cdot5 = 12 - 15 = -3$; вторую координату считают так: $y = 3\cdot4 - 1\cdot6 = 12 - 6 = 6$; третью — так: $z = 1\cdot5 - 2\cdot4 = 5 - 8 = -3$.

Значит $\vec{a}\times\vec{b} = (-3; 6; -3)$, и этот вектор перпендикулярен обоим исходным.

Проверить это можно скалярным умножением результата на каждый из исходных векторов — в обоих случаях получится ноль, что и подтверждает перпендикулярность построенного вектора.

площадь параллелограмма. Даны векторы $\vec{a} = (3; 0)$ и $\vec{b} = (0; 4)$ на плоскости.

Векторное произведение плоских векторов сводится к одному числу — z-координате пространственной формулы: $z = a_x b_y - a_y b_x = 3\cdot4 - 0\cdot0 = 12$.

Площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, равна модулю этого числа: $S = |z| = 12$. Значит векторное произведение помогает найти площадь фигуры, заданной только координатами, без построения чертежа от руки. Такой способ особенно удобен в задачах, где вершины параллелограмма даны не рисунком, а числами.

Частые ошибки

• Путают векторное произведение со скалярным и получают число вместо вектора.
• Меняют порядок вычитания в формуле для координат произведения и теряют знак у результата.
• Для векторов, заданных на плоскости, пытаются найти все три координаты произведения вместо одной.

Коротко

Векторное произведение двух векторов — это новый вектор, перпендикулярный обоим исходным, а его длина равна площади параллелограмма на них. Как найти векторное произведение векторов по координатам, показывает формула с попарными произведениями координат, а знак результата указывает направление.