Как найти длину вектора на ЕГЭ

Как найти длину вектора на ЕГЭ: координаты вектора возводят в квадрат, складывают полученные числа и извлекают из суммы квадратный корень — это и есть его длина. Если вектор задан не координатами, а точками начала и конца, сначала находят разность соответствующих координат конца и начала, а затем действуют по той же формуле. Для вектора в пространстве под корень добавляют ещё и квадрат третьей координаты. Полезно помнить готовые тройки чисел вроде 3, 4, 5, чтобы быстро проверять ответ.

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2}$

Разбор по случаям

Примеры

По координатам вектора. Дан вектор $\vec{a} = (4; 3)$. Координаты возводят в квадрат и складывают: $4^2+3^2 = 16+9 = 25$. Из суммы извлекают квадратный корень: $|\vec{a}| = \sqrt{25} = 5$. Такой вектор образует прямоугольный треугольник со сторонами 4, 3 и 5, а его длина равна пяти единицам.

По двум точкам. Даны точки $A(0; 0)$ и $B(6; 8)$. Координаты вектора находят вычитанием: $x = 6-0 = 6$, $y = 8-0 = 8$.

Длина равна $|\vec{AB}| = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$.

Такой способ применяют, когда вектор задан не напрямую, а через координаты точек.

Частые ошибки

• Забывают извлечь квадратный корень и оставляют в ответе сумму квадратов координат вместо длины вектора.
• При вычитании координат начала и конца путают порядок точек и меняют знак разности на противоположный.
• Складывают координаты вектора напрямую вместо того, чтобы сначала возвести каждую координату в квадрат перед сложением.

Коротко

Как найти длину вектора на ЕГЭ — сложить квадраты его координат и извлечь из суммы квадратный корень. Для вектора между двумя точками координаты сначала находят вычитанием, а для пространственного вектора добавляют третью координату под корень.