Как найти длину вектора на профильном ЕГЭ

Длина вектора вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат: $|a| = \sqrt{x^2 + y^2}$ на плоскости и $|a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ в пространстве.

Если вектор задан двумя точками A и B, сначала находят его координаты как разность координат конца и начала: x = x_B - x_A. Разбираясь, как найти длину вектора на профильном ЕГЭ, выпускник чаще всего работает с координатами точек в задачах по стереометрии, поэтому важно не путать порядок вычитания координат.

Разбор по случаям

Примеры

Вектор с координатами (3; 4). Вектор имеет координаты $x = 3$ и $y = 4$.

По формуле $|a| = \sqrt{x^2 + y^2}$ получаем $|a| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Длина вектора равна 5, и этот же приём работает для любых целых координат. Число под корнем оказалось точным квадратом, поэтому ответ получился целым числом.

Вектор задан точками A(1; 1) и B(4; 5). Координаты вектора: $\vec{AB} = (4-1;\ 5-1) = (3; 4)$.

Длина вектора $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ совпадает с предыдущим примером, ведь координаты вектора получились те же самые. Такое совпадение возникает потому, что вектор AB сдвинут параллельно исходному вектору.

Частые ошибки

• Вычитают координаты в обратном порядке и по ошибке получают вектор с противоположным направлением.
• Забывают добавить координату z в пространственных задачах и находят неверную длину вектора.
• Извлекают корень из суммы координат, не возведя их предварительно в квадрат.

Коротко

Длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат, а при задании точками сначала находят сами координаты вектора. Освоив, как найти длину вектора на профильном ЕГЭ, выпускник уверенно решает задачи и на плоскости, и в пространстве.