Как найти проекции векторов на примерах

Чтобы понять, как найти проекции векторов на примерах, различают проекцию на координатную ось и проекцию на другой вектор. Проекция на ось Ox или Oy — это просто соответствующая координата вектора: $a_x$ или $a_y$.

Проекция вектора a на вектор b считается через скалярное произведение и длину второго вектора: $\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}$.

Знак результата показывает, совпадает направление проекции с направлением оси или вектора, или противоположно ему.

Разбор по случаям

Примеры

проекции на оси координат. Дан вектор $\vec{a} = (3; -4)$. Его проекция на ось Ox равна первой координате вектора: $a_x = 3$. Проекция на ось Oy равна второй координате: $a_y = -4$. Знак проекции показывает направление вдоль оси: положительное значение три означает, что вектор направлен вправо вдоль оси Ox, а отрицательное значение минус четыре — что вдоль оси Oy вектор направлен вниз.

проекция вектора на вектор. Даны векторы $\vec{a} = (3; 4)$ и $\vec{b} = (1; 0)$.

Скалярное произведение: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot1 + 4\cdot0 = 3$.

Длина вектора b: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2+0^2} = 1$.

Проекция вектора a на вектор b равна $\frac{3}{1} = 3$. Поскольку вектор b направлен вдоль оси Ox, проекция совпала с первой координатой вектора a, что логично для вектора, лежащего строго вдоль координатной оси, а такой частный случай легко проверить по чертежу.

Частые ошибки

• Путают проекцию вектора на ось с самой длиной вектора и теряют знак минус.
• При проекции на другой вектор забывают разделить скалярное произведение на длину этого вектора.
• Путают порядок векторов в скалярном произведении и делят не на ту длину.

Коротко

Проекция вектора на ось — это его координата, а проекция на другой вектор считается через скалярное произведение и длину. Как найти проекции векторов на примерах видно лучше всего: числа подставляют в готовые формулы и получают знак, который показывает направление.