Как найти тангенс острого угла в параллелограмме

Как найти тангенс острого угла в параллелограмме — через высоту и сторону: $\tan\alpha = \dfrac{h}{\sqrt{b^2-h^2}}$, где $h$ — высота, а $b$ — сторона, к которой она не перпендикулярна.

Если известны обе стороны и площадь, тангенс получают через синус $\sin\alpha = S/(ab)$ и косинус по основному тригонометрическому тождеству. Если даны стороны и меньшая диагональ, косинус находят по теореме косинусов, а тангенс — как отношение синуса к косинусу.

$\tan\alpha = \frac{h}{\sqrt{b^2 - h^2}}$

Разбор по случаям

Примеры

через высоту и сторону. В параллелограмме основание $a = 10\text{ см}$, боковая сторона $b = 6\text{ см}$, а высота, проведённая к основанию, равна $h = 3\text{ см}$.

Тангенс острого угла находят по формуле $\tan\alpha = \frac{h}{\sqrt{b^2 - h^2}} = \frac{3}{\sqrt{36 - 9}} = \frac{3}{\sqrt{27}} = \frac{1}{\sqrt3} \approx 0{,}577$.

Такому тангенсу соответствует угол $\alpha = 30^\circ$, что легко проверить по таблице тангенсов. Этот способ подходит, когда в условии даны стороны и высота, а не сразу угол. Такой результат совпадает с табличным значением тангенса тридцати градусов.

через стороны и диагональ. В параллелограмме стороны $a = 7\text{ см}$ и $b = 5\text{ см}$, а меньшая диагональ равна $d = 6\text{ см}$.

Сначала находят косинус угла: $\cos\alpha = \frac{a^2+b^2-d^2}{2ab} = \frac{49+25-36}{70} = \frac{38}{70} \approx 0{,}543$.

Тогда синус равен $\sin\alpha = \sqrt{1-0{,}543^2} \approx 0{,}840$, а тангенс $\tan\alpha = \frac{0{,}840}{0{,}543} \approx 1{,}55$.

Полученный угол составляет примерно 57 градусов, это можно проверить по таблице тангенсов, где значению 1,55 соответствует именно такой угол. Такой способ удобен, если высота фигуры неизвестна.

Частые ошибки

• Путают острый и тупой угол параллелограмма и подставляют не ту сторону в формулу.
• Берут высоту, опущенную не на ту сторону, которая входит в формулу тангенса.
• Складывают синус и косинус напрямую вместо деления одного на другой для тангенса.

Коротко

Ответ на вопрос, как найти тангенс острого угла в параллелограмме, зависит от того, что дано: высота со стороной, площадь со сторонами или стороны с диагональю. Во всех случаях сначала получают синус и косинус угла, а затем делят одно на другое.