Как найти угол при вершине равнобедренного треугольника

Чтобы понять, как найти угол при вершине равнобедренного треугольника, из 180 градусов вычитают удвоенный угол при основании, ведь оба угла при основании равны между собой. Если основание не дано, угол находят через боковые стороны по теореме косинусов или через отношение высоты к боковой стороне с помощью арккосинуса. Сумма всех трёх углов треугольника всегда равна 180 градусам.

$\alpha = 180^\circ - 2\beta$

Разбор по случаям

Примеры

по углу при основании. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $\beta = 50^\circ$.

Оба угла при основании равны, поэтому угол при вершине равен $\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 50^\circ = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Проверка: сумма всех трёх углов $80^\circ + 50^\circ + 50^\circ = 180^\circ$, что подтверждает правильность вычисления угла треугольника.

Такой треугольник остроугольный, поскольку все три его угла меньше девяноста градусов, а наибольший из них — именно угол при вершине.

по стороне и высоте. Боковая сторона равнобедренного треугольника $a = 10\text{ см}$, высота к основанию $h = 5\text{ см}$.

Половина угла при вершине находится через косинус: $\cos(\alpha/2) = h/a = 5/10 = 0{,}5$, значит $\alpha/2 = 60^\circ$, а угол при вершине $\alpha = 120^\circ$.

Такой треугольник получается тупоугольным, потому что угол при вершине больше 90 градусов. Такой способ удобен, когда в условии задачи известна не сторона основания, а именно высота, опущенная из вершины.

Частые ошибки

• Путают угол при вершине с углом при основании и делят 180 градусов на три равные части.
• Забывают, что оба угла при основании равны, и вычитают из 180 градусов только один угол вместо удвоенного.
• При работе с высотой берут отношение высоты к основанию вместо отношения высоты к боковой стороне.

Коротко

Так решается вопрос, как найти угол при вершине равнобедренного треугольника: через углы при основании, через боковые стороны по теореме косинусов или через высоту и боковую сторону с арккосинусом. Способ выбирают исходя из того, какие величины даны в условии задачи.