Как найти угол треугольника по двум сторонам

Как найти угол треугольника по двум сторонам, зависит от того, прямоугольный ли треугольник. Если известны оба катета, угол находят через тангенс: делят противолежащий катет на прилежащий и берут арктангенс результата. Если известны катет и гипотенуза, применяют синус или косинус, а результат переводят в градусы через таблицу значений. Для произвольного треугольника нужна ещё и третья сторона, и тогда используют теорему косинусов.

$\tan \alpha = \dfrac{a}{b}$

Разбор по случаям

Примеры

Прямоугольный треугольник, катеты. Катеты равны $a = 4\text{ см}$ и $b = 4\text{ см}$.

Находим тангенс угла: $\tan \alpha = \dfrac{4}{4} = 1$.

По таблице значений $\alpha = 45^\circ$. Это угол, противолежащий катету $a$, а второй острый угол треугольника тоже равен $45^\circ$, потому что их сумма равна $90^\circ$.

Гипотенуза этого треугольника равна $c = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\text{ см}$, что подтверждается теоремой Пифагора: $4^2+4^2=32$.

Прямоугольный треугольник, катет и гипотенуза. Катет равен $a = 6\text{ см}$, гипотенуза $c = 12\text{ см}$.

Находим синус угла: $\sin \alpha = \dfrac{6}{12} = 0{,}5$.

По таблице значений $\alpha = 30^\circ$. Второй острый угол треугольника равен $60^\circ$, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда составляет $90^\circ$.

Второй катет равен $b = \sqrt{12^2-6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39\text{ см}$.

Частые ошибки

• Делят катеты в обратном порядке и находят угол не при той вершине, которую спрашивают в задаче, а при соседней.
• Забывают перевести значение арксинуса или арктангенса из радианов в градусы при работе с калькулятором, оставляя число как есть.
• Пытаются применить теорему косинусов, когда даны только две стороны без угла между ними и без третьей стороны, а данных для формулы не хватает.

Коротко

Как найти угол треугольника по двум сторонам — зависит от вида треугольника: для прямоугольного достаточно тангенса, синуса или косинуса катетов и гипотенузы. Если треугольник произвольный, нужна третья сторона и теорема косинусов.