Как найти вектор по двум векторам

Как найти вектор по двум векторам, зависит от того, какой именно вектор нужен: сумма, разность или линейная комбинация. Чтобы сложить векторы, их координаты складывают по осям — координата по x и координата по y дают координаты нового вектора. Чтобы найти разность, координаты второго вектора вычитают из координат первого. Итоговый вектор можно также построить на чертеже правилом треугольника или параллелограмма без вычислений, а затем при необходимости найти его длину.

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$

Разбор по случаям

Примеры

Сумма векторов. Векторы заданы координатами $\vec{a} = (3; 2)$ и $\vec{b} = (-1; 1)$. Складывают покоординатно: $c_x = 3 + (-1) = 2$, $c_y = 2 + 1 = 3$. Получают сумму $\vec{c} = (2; 3)$ — вектор, который заменяет последовательное перемещение сначала по первому, затем по второму вектору, и его можно построить правилом треугольника.

Проверка обратным действием: $\vec{c} - \vec{b} = (2-(-1);\,3-1) = (3;2) = \vec{a}$, значит сумма найдена верно.

Разность векторов. Векторы заданы координатами $\vec{a} = (5; 4)$ и $\vec{b} = (2; 1)$. Вычитают покоординатно: $c_x = 5 - 2 = 3$, $c_y = 4 - 1 = 3$.

Получают разность $\vec{c} = (3; 3)$ — вектор, направленный от конца второго вектора к концу первого, а длину при желании находят по теореме Пифагора: $|\vec{c}| = \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} \approx 4{,}24$.

Частые ошибки

• Складывают модули (длины) векторов вместо покоординатного сложения отдельно по осям x и y.
• Путают порядок вычитания координат и получают вектор противоположного направления, чем требуется.
• Забывают, что результат тоже вектор, и записывают только одно число вместо пары координат по осям.

Коротко

Как найти вектор по двум векторам, определяет нужная операция: для суммы координаты складывают, для разности вычитают, а для линейной комбинации сначала умножают на коэффициенты. Результат всегда записывают парой координат по осям, а при необходимости находят длину полученного вектора по теореме Пифагора.