Как найти противоположный вектор

Как найти противоположный вектор: поменять знак у каждой координаты, оставив длину без изменений. Если вектор a имеет координаты (x; y), противоположный вектор -a равен (-x; -y). Геометрически это тот же отрезок, но со стрелкой, развёрнутой на 180 градусов, поэтому вектор лежит на прежней прямой. Сумма вектора и противоположного ему всегда даёт нулевой вектор с координатами (0; 0).

$-a = (-x; -y)$

Разбор по случаям

Примеры

Вектор через две точки. Отрезок соединяет точки $A(2; 1)$ и $B(6; 4)$ на координатной плоскости.

Вектор $\vec{AB} = (6-2;\ 4-1) = (4; 3)$ направлен от A к B, а вектор $\vec{BA} = (2-6;\ 1-4) = (-4; -3)$ направлен от B к A.

Длина обоих векторов одинакова: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2+3^2} = 5$.

Векторы AB и BA лежат на одной прямой, имеют равную длину и направлены в разные стороны, поэтому BA является противоположным вектором для AB.

Вектор в координатах. Дан вектор $a = (5; -3)$, заданный своими координатами на плоскости. Чтобы найти противоположный ему вектор, меняем знак у каждой координаты и получаем $-a = (-5; 3)$.

Длина исходного вектора равна $|a| = \sqrt{5^2+3^2} = \sqrt{34}$, а у противоположного вектора длина точно такая же: $|-a| = \sqrt{34}$.

Изменилось только направление стрелки на чертеже, а числовое значение длины осталось прежним.

Частые ошибки

• Меняют знак только у одной координаты вектора, а не у обеих сразу.
• Путают противоположный вектор с перпендикулярным, хотя направления у них разные.
• Считают, что длина противоположного вектора отличается от длины исходного.

Коротко

Как найти противоположный вектор — сменить знак у координат или развернуть направленный отрезок на 180 градусов, сохранив длину без изменений. Такой вектор лежит на той же прямой, что и исходный, а их сумма всегда даёт нулевой вектор.