Как найти координаты вектора по известным векторам

Отвечая на вопрос, как найти координаты вектора по известным векторам, складывают или вычитают их координаты покоординатно: x с x, а y с y. Если вектор равен линейной комбинации k·a + m·b, каждую координату сначала умножают на свой коэффициент, а потом складывают результаты между собой. Если вектор нужно разложить по базису, его координаты находят из системы уравнений, составленной отдельно для x и для y.

$c_x = a_x + b_x,\quad c_y = a_y + b_y$

Разбор по случаям

Примеры

сумма векторов. Даны векторы $\vec{a}(3; 1)$ и $\vec{b}(1; 2)$. Координаты суммы находят покоординатно, складывая иксовые координаты между собой, а игрековые отдельно: $c_x = 3 + 1 = 4$, $c_y = 1 + 2 = 3$. Значит, вектор суммы имеет координаты $\vec{c}(4; 3)$, и его можно построить как диагональ параллелограмма.

линейная комбинация. Даны те же векторы $\vec{a}(3; 1)$ и $\vec{b}(1; 2)$, а также коэффициенты $k = 2$ и $m = -3$.

Сначала умножаем координаты каждого вектора на свой коэффициент, затем складываем: $c_x = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 = 6 - 3 = 3$, $c_y = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4$.

Получаем итоговый вектор $\vec{c}(3; -4)$.

Проверка: $\vec{c} + 3\vec{b} = (3+3;\,-4+6) = (6; 2) = 2\vec{a}$, что подтверждает верность вычислений.

Частые ошибки

• Складывают координаты векторов крест-накрест, путая местами иксовую и игрековую координаты между собой.
• Забывают учитывать знак коэффициента при умножении вектора на отрицательное число в линейной комбинации.
• Путают порядок вычитания и меняют местами уменьшаемый и вычитаемый вектор, из-за чего теряется знак.

Коротко

Чтобы понять, как найти координаты вектора по известным векторам, складывают, вычитают или умножают на коэффициенты соответствующие координаты x и y. Для разложения по базису те же координаты находят из системы двух уравнений.