Как найти единичный вектор через длину вектора

Единичный вектор получают делением каждой координаты вектора на его длину: находят длину по теореме Пифагора, а затем координаты x, y (и z в пространстве) делят на неё. Результат — вектор того же направления, но длиной ровно один. Если вектор задан точками начала и конца, сначала находят его координаты как разность координат конца и начала. Как найти единичный вектор через длину вектора, работает одинаково для плоскости и пространства.

$\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

Разбор по случаям

Примеры

Вектор на плоскости. Дан вектор $\vec{a}=(3;4)$ на координатной плоскости, требуется найти сонаправленный ему вектор единичной длины.

Сначала находим длину исходного вектора по теореме Пифагора: подставим $|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

Единичный вектор получаем, разделив каждую координату на найденную длину: $e_x=\frac{3}{5}=0{,}6$ и $e_y=\frac{4}{5}=0{,}8$.

Проверяем результат: $\sqrt{0{,}6^2+0{,}8^2}=\sqrt{0{,}36+0{,}64}=\sqrt{1}=1$, а длина стала равна ровно единице, что и требовалось получить.

Вектор в пространстве. Дан вектор $\vec{b}=(1;2;2)$, заданный в пространстве тремя координатами, требуется найти его единичный вектор.

Длину находим по формуле для трёх координат, обобщающей теорему Пифагора: подставим $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$.

Делим каждую координату на найденную длину: $e_x=\frac{1}{3}$, $e_y=\frac{2}{3}$, $e_z=\frac{2}{3}$.

Проверяем длину результата: $\sqrt{\left(\frac13\right)^2+\left(\frac23\right)^2+\left(\frac23\right)^2}=\sqrt{\frac{1+4+4}{9}}=\sqrt{1}=1$, значит новый вектор действительно единичный и сонаправлен исходному, что полностью подтверждает правильность вычислений.

Частые ошибки

• Забывают, что единичный вектор сохраняет направление исходного, но получают отрицательные координаты по ошибке в делении.
• Путают длину вектора с суммой его координат вместо суммы их квадратов под корнем.
• Не проверяют, что после деления длина результата равна единице, и оставляют ошибку в вычислениях без контроля.

Коротко

Как найти единичный вектор через длину вектора: разделить каждую координату на длину этого же вектора, тогда направление сохранится, а длина станет равна единице. Формула одинаково работает на плоскости, в пространстве и для вектора между двумя точками.