Как найти высоту из прямого угла

Как найти высоту из прямого угла зависит от того, какие элементы прямоугольного треугольника известны в условии задачи. Если даны оба катета, сначала находят гипотенузу по теореме Пифагора, а затем делят произведение катетов на гипотенузу. Если известны отрезки, на которые высота делит гипотенузу, применяют формулу среднего геометрического этих отрезков. Оба способа дают одну и ту же высоту, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу.

$h = \frac{ab}{c}$

Разбор по случаям

Примеры

По двум катетам. В прямоугольном треугольнике катеты равны $a = 3\text{ см}$ и $b = 4\text{ см}$.

Сначала находим гипотенузу по теореме Пифагора: $c = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5\text{ см}$.

Высоту из прямого угла считаем по формуле $h = \frac{ab}{c}$, где в числителе стоит произведение катетов, а в знаменателе гипотенуза.

Подставляем числа: $h = \frac{3\cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2{,}4\text{ см}$, это и есть искомая высота треугольника, опущенная на гипотенузу из вершины прямого угла.

По отрезкам гипотенузы. Высота делит гипотенузу на отрезки $p = 4\text{ см}$ и $q = 9\text{ см}$, примыкающие к разным катетам треугольника. Используем формулу среднего геометрического: $h = \sqrt{pq}$.

Подставляем числа под корень: $h = \sqrt{4\cdot 9} = \sqrt{36} = 6\text{ см}$.

Такой приём особенно удобен, когда сами катеты треугольника в условии задачи неизвестны, а даны только части гипотенузы после проведения высоты.

Частые ошибки

• Считают, что высота из прямого угла равна одному из катетов, и не строят её отдельным отрезком.
• Забывают сначала найти гипотенузу по теореме Пифагора, если в условии даны только катеты.
• При использовании среднего геометрического путают местами отрезки гипотенузы и сами катеты треугольника.

Коротко

Высота из прямого угла равна произведению катетов, делённому на гипотенузу, а также среднему геометрическому отрезков гипотенузы. Именно эти формулы применяют, когда разбирают, Как найти высоту из прямого угла в прямоугольном треугольнике.