Как найти величину угла в прямоугольном треугольнике

Как найти величину угла в прямоугольном треугольнике — через отношение известных сторон и обратную тригонометрическую функцию. Если известны оба катета, применяют $\alpha = \arctan(a/b)$. Если известны катет и гипотенуза, используют арксинус или арккосинус: $\alpha = \arcsin(a/c)$ или $\alpha = \arccos(b/c)$. Если один острый угол уже известен, второй находят по формуле $\beta = 90^\circ - \alpha$, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусам. На клетчатой бумаге отношение сторон часто видно сразу по количеству клеток вдоль катетов.

$\alpha = \arctan\left(\frac{a}{b}\right)$

Разбор по случаям

Примеры

по катету и гипотенузе. Катет, противолежащий искомому углу, равен $a = 5\text{ см}$, а гипотенуза $c = 10\text{ см}$.

Находим синус угла: $\sin\alpha = a/c = 5/10 = 0{,}5$.

Угол, синус которого равен 0,5, составляет $\alpha = \arcsin(0{,}5) = 30^\circ$.

Величина искомого угла в этом прямоугольном треугольнике равна 30 градусам. Такой треугольник называют «половиной равностороннего», и его углы 30, 60 и 90 градусов встречаются часто.

по двум катетам. Катеты треугольника равны $a = 3\text{ см}$ и $b = 4\text{ см}$.

Тангенс искомого угла: $\tan\alpha = a/b = 3/4 = 0{,}75$.

Угол находим через арктангенс: $\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87^\circ$.

Проверка через синус даёт тот же результат: $\sin\alpha = 3/5 = 0{,}6$, откуда тоже $\alpha \approx 36{,}87^\circ$.

Такое соотношение сторон 3:4:5 называют египетским треугольником, и оно часто встречается в задачах.

Частые ошибки

• Путают синус и косинус, беря отношение не той стороны к гипотенузе, что искажает угол в прямоугольном треугольнике.
• Забывают, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна ровно 90 градусам, а не 180, как в произвольном треугольнике.
• Путают катет, противолежащий углу, с прилежащим катетом и получают неверную тригонометрическую функцию, хотя по рисунку их легко перепутать.

Коротко

Как найти величину угла в прямоугольном треугольнике — через отношение известных сторон и обратную тригонометрическую функцию: арксинус, арккосинус или арктангенс. Такой угол в прямоугольном треугольнике всегда находят одним из этих трёх способов, в зависимости от того, какие стороны даны в условии.