Как найти тангенс угла в треугольнике

Как найти тангенс угла в треугольнике: в прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Если известна только гипотенуза и один катет, второй катет сначала находят по теореме Пифагора. В произвольном треугольнике без прямого угла сначала находят косинус угла по теореме косинусов через три стороны, затем синус по основному тригонометрическому тождеству, а тангенс получают делением синуса на косинус.

$\tan\alpha = \dfrac{a}{b}$

Разбор по случаям

Примеры

Прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $a = 3\text{ см}$, а прилежащий катет равен $b = 4\text{ см}$.

По формуле тангенса получаем $\tan\alpha = \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$.

Такой треугольник со сторонами $3$, $4$ и $5$ называют египетским, а его гипотенуза равна $5\text{ см}$ по теореме Пифагора. Значение тангенса $0{,}75$ соответствует углу примерно тридцать семь градусов, что легко проверить по таблице тангенсов.

Произвольный треугольник. Треугольник имеет стороны $a = 5\text{ см}$, $b = 6\text{ см}$ и $c = 7\text{ см}$, а угол $\alpha$ лежит напротив стороны a.

По теореме косинусов: $\cos\alpha = \dfrac{36 + 49 - 25}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \dfrac{60}{84} = \dfrac{5}{7}$.

Синус находим по тождеству: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{25}{49}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{7}$.

Тангенс равен $\tan\alpha = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$, что приблизительно равно $0{,}98$.

Такой способ через теорему косинусов работает для любого треугольника, а не только для прямоугольного, и не требует построения высоты.

Частые ошибки

• Используют формулу отношения катетов в треугольнике, где нет прямого угла, хотя она верна только для прямоугольного треугольника.
• Путают противолежащий и прилежащий катет местами и получают перевёрнутое значение тангенса вместо правильного.
• Забывают, что тангенс равен именно отношению синуса к косинусу, и подставляют в формулу только одну из этих величин.

Коротко

Как найти тангенс угла в треугольнике — в прямоугольном треугольнике это отношение катетов, а в произвольном тангенс находят через косинус по теореме косинусов и синус по тригонометрическому тождеству. Табличные углы 30°, 45° и 60° проще брать готовыми из таблицы.